Номер 1, страница 244 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения

1. С точки зрения наблюдателя, находящегося в движущемся поезде, удары молний в землю в точке А (впереди поезда) и в точке В (позади поезда) произошли одновременно. Какая молния ударила в землю раньше с точки зрения наблюдателя, находящегося на земле?

1. Эта задача является классическим мысленным экспериментом, иллюстрирующим один из ключевых выводов специальной теории относительности (СТО) — относительность одновременности. События, которые являются одновременными в одной инерциальной системе отсчета, могут быть не одновременными в другой системе, движущейся относительно первой.

Рассмотрим две системы отсчета: неподвижную, связанную с землей (где находится первый наблюдатель), и движущуюся, связанную с поездом (где находится второй наблюдатель).

Согласно условию, для наблюдателя в поезде удары молний в точке А (впереди поезда) и в точке В (позади поезда) произошли одновременно. Это означает, что световые сигналы от обоих ударов молнии достигли наблюдателя в поезде в один и тот же момент времени. Для наглядности предположим, что наблюдатель в поезде находится ровно посередине между точками, в которые ударили молнии.

Теперь проанализируем эту ситуацию с точки зрения наблюдателя, стоящего на земле. Он видит движущийся поезд.

Свет от удара молнии в точке А (впереди) начинает распространяться навстречу наблюдателю в поезде, так как поезд движется в сторону точки А.

Свет от удара молнии в точке В (позади) начинает "догонять" наблюдателя в поезде, так как поезд удаляется от точки В.

Согласно второму постулату СТО, скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Чтобы световые сигналы от А и В достигли наблюдателя в поезде одновременно, свет от удара в точке В должен был начать свое движение раньше, чем свет от удара в точке А. Это необходимо, чтобы компенсировать дополнительное расстояние, которое свету от В приходится преодолевать из-за движения поезда. Свету от А, наоборот, нужно пройти меньшее расстояние, так как наблюдатель движется ему навстречу.

Таким образом, с точки зрения наблюдателя на земле, событие в точке В (удар молнии позади поезда) произошло раньше, чем событие в точке А (удар молнии впереди поезда).

Математическое доказательство:

Пусть система отсчета $S$ связана с землей, а система $S'$ — с поездом, который движется со скоростью $v$ в положительном направлении оси $x$. Координаты и время в этих системах связаны преобразованиями Лоренца.

События (удары молний) в системе $S$ имеют координаты $(x_A, t_A)$ и $(x_B, t_B)$. В системе поезда $S'$ эти же события имеют координаты $(x'_A, t'_A)$ и $(x'_B, t'_B)$.

По условию, в системе поезда $S'$ события одновременны: $t'_A = t'_B$.

Используем преобразование Лоренца для времени, чтобы перейти из системы $S'$ в систему $S$:

$t = \gamma (t' + \frac{vx'}{c^2})$, где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Применим его к нашим событиям:

$t_A = \gamma (t'_A + \frac{vx'_A}{c^2})$

$t_B = \gamma (t'_B + \frac{vx'_B}{c^2})$

Вычтем второе уравнение из первого:

$t_A - t_B = \gamma (t'_A - t'_B + \frac{v}{c^2}(x'_A - x'_B))$

Так как $t'_A = t'_B$, то $t'_A - t'_B = 0$. Уравнение упрощается:

$t_A - t_B = \frac{\gamma v}{c^2}(x'_A - x'_B)$

В системе отсчета поезда $S'$, точка А (впереди) имеет большую координату, чем точка B (позади), то есть $x'_A > x'_B$. Следовательно, разность $(x'_A - x'_B)$ положительна.

Поскольку скорость поезда $v > 0$ и лоренц-фактор $\gamma > 0$, вся правая часть уравнения положительна:

$\frac{\gamma v}{c^2}(x'_A - x'_B) > 0$

Это означает, что $t_A - t_B > 0$, или $t_A > t_B$.

Это доказывает, что для наблюдателя на земле удар молнии в точке В произошел в более ранний момент времени ($t_B$), чем удар молнии в точке А ($t_A$).

Ответ: С точки зрения наблюдателя, находящегося на земле, молния в точке B (позади поезда) ударила в землю раньше.