Номер 3, страница 245 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Глава 8. Элементы теории относительности. Параграф 65. Примеры решения задач по теме «Элементы специальной теории относительности». Задачи для самостоятельного решения - номер 3, страница 245.

Условие.

3. Выведите из преобразований Лоренца формулу преобразований промежутков времени.

Решение.

Решение 2.

Решение

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета (ИСО): неподвижную систему $S$ с координатами $(x, y, z, t)$ и движущуюся систему $S'$ с координатами $(x', y', z', t')$. Пусть система $S'$ движется относительно системы $S$ с постоянной скоростью $v$ вдоль оси $x$.

Преобразования Лоренца связывают координаты и время одного и того же события в этих двух системах. Преобразование для временной координаты имеет вид:

$t' = \frac{t - \frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

где $c$ — скорость света в вакууме. Для удобства введем лоренц-фактор $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$. Тогда преобразование для времени можно записать как:

$t' = \gamma \left(t - \frac{v}{c^2}x\right)$

Рассмотрим два события. Пусть в системе $S$ первое событие произошло в момент времени $t_1$ в точке с координатой $x_1$, а второе событие — в момент времени $t_2$ в точке с координатой $x_2$. В системе $S'$ этим событиям будут соответствовать моменты времени $t'_1$ и $t'_2$.

Применим преобразование Лоренца для каждого из этих событий:

Для первого события: $t'_1 = \gamma \left(t_1 - \frac{v}{c^2}x_1\right)$

Для второго события: $t'_2 = \gamma \left(t_2 - \frac{v}{c^2}x_2\right)$

Промежуток времени $\Delta t'$ между этими двумя событиями с точки зрения наблюдателя в системе $S'$ равен разности $t'_2 - t'_1$:

$\Delta t' = t'_2 - t'_1 = \gamma \left(t_2 - \frac{v}{c^2}x_2\right) - \gamma \left(t_1 - \frac{v}{c^2}x_1\right)$

Сгруппируем члены:

$\Delta t' = \gamma \left[(t_2 - t_1) - \frac{v}{c^2}(x_2 - x_1)\right]$

Обозначив промежуток времени в системе $S$ как $\Delta t = t_2 - t_1$ и разность координат как $\Delta x = x_2 - x_1$, получим общее выражение для преобразования промежутка времени:

$\Delta t' = \gamma \left(\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^2}\right)$

Теперь выведем формулу релятивистского замедления времени. Для этого рассмотрим промежуток времени, который измеряется по часам, покоящимся в одной из систем отсчета. Пусть часы находятся в системе $S$. Это означает, что оба события (два последовательных "тиканья" часов) происходят в одной и той же точке пространства в системе $S$. Следовательно, $x_1 = x_2$, и изменение координаты $\Delta x = 0$.

Промежуток времени, измеренный по часам, которые покоятся относительно наблюдателя, называется собственным временем и обозначается $\Delta t_0$. В нашем случае, промежуток времени в системе $S$ является собственным, то есть $\Delta t = \Delta t_0$.

Подставим $\Delta x = 0$ и $\Delta t = \Delta t_0$ в полученную ранее формулу:

$\Delta t' = \gamma \left(\Delta t_0 - \frac{v \cdot 0}{c^2}\right) = \gamma \Delta t_0$

Принято обозначать собственное время как $\Delta t_0$, а время в системе, относительно которой часы движутся, как $\Delta t$. Заменив $\Delta t'$ на $\Delta t$, мы получаем искомую формулу:

$\Delta t = \gamma \Delta t_0 = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Эта формула показывает, что промежуток времени $\Delta t$, измеренный в системе отсчета, где часы движутся, всегда больше собственного промежутка времени $\Delta t_0$ (так как $\gamma \ge 1$). Это явление называется релятивистским замедлением времени.

Ответ: Формула преобразования промежутков времени, выведенная из преобразований Лоренца, имеет вид $\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, где $\Delta t_0$ — собственный промежуток времени (измеренный в системе отсчета, где события происходят в одной точке), $\Delta t$ — промежуток времени, измеренный в системе отсчета, которая движется со скоростью $v$ относительно первой, и $c$ — скорость света в вакууме.