Номер 3, страница 245 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Глава 8. Элементы теории относительности. Параграф 65. Примеры решения задач по теме «Элементы специальной теории относительности». Образцы заданий ЕГЭ - номер 3, страница 245.

Условие.

3. Свободный пион ($\pi^0$-мезон) с энергией покоя 135 МэВ движется со скоростью $v = 3 \cdot 10^7$ м/с. В результате его распада образовались два $\gamma$-кванта, причём первый распространяется в направлении движения пиона, а второй — в противоположном направлении. Чему равна энергия первого $\gamma$-кванта?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Энергия покоя пиона ($ \pi^0 $-мезона), $ E_0 = 135 $ МэВ

Скорость пиона, $ v = 3 \cdot 10^7 $ м/с

Скорость света в вакууме, $ c \approx 3 \cdot 10^8 $ м/с

Найти:

Энергию первого $ \gamma $-кванта, $ E_{\gamma1} $

Решение:

Процесс распада свободного пиона на два гамма-кванта ($ \pi^0 \rightarrow \gamma + \gamma $) описывается законами сохранения энергии и импульса в релятивистской механике.

1. Закон сохранения энергии. Полная релятивистская энергия пиона до распада равна сумме энергий образовавшихся $ \gamma $-квантов: $ E_{\pi} = E_{\gamma1} + E_{\gamma2} $ (1)

2. Закон сохранения импульса. Импульс пиона до распада равен сумме импульсов $ \gamma $-квантов после распада. Так как частицы разлетаются вдоль одной прямой, мы можем записать закон в проекциях на направление движения пиона. Импульс первого кванта $ p_{\gamma1} $, летящего в том же направлении, будет положителен, а импульс второго кванта $ p_{\gamma2} $, летящего в противоположном направлении, — отрицателен. $ p_{\pi} = p_{\gamma1} - p_{\gamma2} $ (2)

Энергия и импульс фотона ($ \gamma $-кванта) связаны соотношением $ E_{\gamma} = p_{\gamma}c $. Следовательно, импульсы квантов равны $ p_{\gamma1} = E_{\gamma1}/c $ и $ p_{\gamma2} = E_{\gamma2}/c $.

Подставим эти выражения в уравнение закона сохранения импульса (2) и умножим его на скорость света $ c $: $ p_{\pi}c = E_{\gamma1} - E_{\gamma2} $ (3)

Мы получили систему из двух линейных уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными $ E_{\gamma1} $ и $ E_{\gamma2} $: $ \begin{cases} E_{\gamma1} + E_{\gamma2} = E_{\pi} \\ E_{\gamma1} - E_{\gamma2} = p_{\pi}c \end{cases} $

Чтобы найти энергию первого кванта $ E_{\gamma1} $, сложим эти два уравнения: $ (E_{\gamma1} + E_{\gamma2}) + (E_{\gamma1} - E_{\gamma2}) = E_{\pi} + p_{\pi}c $ $ 2E_{\gamma1} = E_{\pi} + p_{\pi}c $ $ E_{\gamma1} = \frac{1}{2}(E_{\pi} + p_{\pi}c) $

Теперь необходимо найти полную энергию $ E_{\pi} $ и импульс $ p_{\pi} $ пиона. Полная релятивистская энергия частицы: $ E_{\pi} = \gamma m_0 c^2 = \frac{E_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} $, где $ E_0 = 135 $ МэВ - энергия покоя пиона. Релятивистский импульс частицы: $ p_{\pi} = \gamma m_0 v = \frac{E_0 v}{c^2\sqrt{1-v^2/c^2}} $.

Выразим величину $ p_{\pi}c $: $ p_{\pi}c = \left( \frac{E_0 v}{c^2\sqrt{1-v^2/c^2}} \right) c = \frac{E_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \cdot \frac{v}{c} = E_{\pi} \frac{v}{c} $

Подставим это выражение в формулу для $ E_{\gamma1} $: $ E_{\gamma1} = \frac{1}{2}(E_{\pi} + E_{\pi} \frac{v}{c}) = \frac{1}{2}E_{\pi}\left(1 + \frac{v}{c}\right) $

Теперь подставим выражение для $ E_{\pi} $: $ E_{\gamma1} = \frac{1}{2} \frac{E_0}{\sqrt{1-(v/c)^2}} \left(1 + \frac{v}{c}\right) $

Для упрощения введем обозначение $ \beta = v/c $. Тогда $ \sqrt{1-(v/c)^2} = \sqrt{1-\beta^2} = \sqrt{(1-\beta)(1+\beta)} $. $ E_{\gamma1} = \frac{1}{2} \frac{E_0(1+\beta)}{\sqrt{(1-\beta)(1+\beta)}} = \frac{1}{2} E_0 \sqrt{\frac{(1+\beta)^2}{(1-\beta)(1+\beta)}} = \frac{1}{2} E_0 \sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} $

Выполним численные расчеты. Сначала найдем безразмерную скорость $ \beta $: $ \beta = \frac{v}{c} = \frac{3 \cdot 10^7 \text{ м/с}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = 0.1 $

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу для $ E_{\gamma1} $: $ E_{\gamma1} = \frac{1}{2} \cdot 135 \text{ МэВ} \cdot \sqrt{\frac{1+0.1}{1-0.1}} = 67.5 \text{ МэВ} \cdot \sqrt{\frac{1.1}{0.9}} = 67.5 \text{ МэВ} \cdot \sqrt{\frac{11}{9}} $ $ E_{\gamma1} = 67.5 \cdot \frac{\sqrt{11}}{3} \text{ МэВ} = 22.5 \cdot \sqrt{11} \text{ МэВ} $

Используя приближенное значение $ \sqrt{11} \approx 3.317 $, получаем: $ E_{\gamma1} \approx 22.5 \cdot 3.317 \text{ МэВ} \approx 74.6325 $ МэВ

Ответ: энергия первого $ \gamma $-кванта равна $ E_{\gamma1} \approx 74.6 $ МэВ.