Номер 2, страница 245 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 65. Примеры решения задач по теме «Элементы специальной теории относительности». Глава 8. Элементы теории относительности - номер 2, страница 245.

Условие.

2. Электрон, ускоренный электрическим полем, приобретает скорость, при которой его полная энергия равна удвоенной энергии покоя. Чему равна ускоряющая разность потенциалов?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Соотношение полной энергии электрона $E$ и его энергии покоя $E_0$: $E = 2E_0$

Масса покоя электрона: $m_e$

Элементарный заряд: $e$

Скорость света в вакууме: $c$

$m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг
$e \approx 1.602 \cdot 10^{-19}$ Кл
$c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Ускоряющая разность потенциалов $U$.

Решение:

Полная энергия релятивистской частицы $E$ складывается из ее энергии покоя $E_0$ и кинетической энергии $E_k$:

$E = E_k + E_0$

Энергия покоя частицы определяется знаменитой формулой Эйнштейна:

$E_0 = m_e c^2$

Согласно условию задачи, полная энергия электрона равна удвоенной энергии покоя:

$E = 2E_0$

Подставим это соотношение в формулу для полной энергии, чтобы найти кинетическую энергию, которую приобрел электрон:

$2E_0 = E_k + E_0$

Отсюда выражаем кинетическую энергию:

$E_k = 2E_0 - E_0 = E_0$

Таким образом, кинетическая энергия, полученная электроном в результате ускорения, равна его энергии покоя.

С другой стороны, работа $A$, совершаемая электрическим полем при ускорении электрона, равна изменению его кинетической энергии. Так как начальная скорость электрона считается равной нулю, работа поля равна приобретенной кинетической энергии:

$A = E_k$

Работа электрического поля по перемещению заряда $e$ в разности потенциалов $U$ вычисляется по формуле:

$A = eU$

Приравнивая два выражения для работы и кинетической энергии, получаем:

$eU = E_k$

Так как мы установили, что $E_k = E_0 = m_e c^2$, то:

$eU = m_e c^2$

Из этого уравнения выражаем искомую ускоряющую разность потенциалов $U$:

$U = \frac{m_e c^2}{e}$

Теперь подставим числовые значения констант и выполним расчет:

$U = \frac{(9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}{1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} = \frac{9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 9 \cdot 10^{16}}{1.602 \cdot 10^{-19}} \text{ В}$

$U = \frac{81.99 \cdot 10^{-15}}{1.602 \cdot 10^{-19}} \text{ В} \approx 51.18 \cdot 10^4 \text{ В} \approx 5.12 \cdot 10^5 \text{ В}$

Результат можно также выразить в киловольтах:

$U \approx 512 \text{ кВ}$

Ответ: ускоряющая разность потенциалов равна примерно $5.12 \cdot 10^5$ В (или 512 кВ).