Страница 320 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

1. Что называется периодом полураспада?

1. Период полураспада — это фундаментальная характеристика радиоактивного изотопа, представляющая собой промежуток времени, в течение которого количество радиоактивных ядер в данном образце уменьшается вдвое в результате их спонтанного распада. Это статистическая величина, которая описывает поведение большого ансамбля ядер, а не отдельного ядра.

Процесс радиоактивного распада является случайным (стохастическим). Невозможно предсказать, когда именно распадется конкретное ядро. Однако для большого числа одинаковых ядер можно определить среднюю скорость распада. Эта скорость пропорциональна текущему числу нераспавшихся ядер $N$. Математически это выражается законом радиоактивного распада: $$ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} $$ В этой формуле: $N(t)$ — число нераспавшихся ядер в момент времени $t$; $N_0$ — начальное число ядер (в момент $t=0$); $\lambda$ (лямбда) — постоянная распада, характеризующая вероятность распада ядра в единицу времени для данного изотопа; $e$ — основание натурального логарифма.

Период полураспада, обозначаемый как $T_{1/2}$, можно найти из этого закона. По определению, в момент времени $t = T_{1/2}$, число оставшихся ядер будет равно половине от начального: $N(T_{1/2}) = N_0 / 2$. Подставим это в формулу: $$ \frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}} $$ Сократив $N_0$, получаем: $$ \frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}} $$ или $$ 2 = e^{\lambda T_{1/2}} $$ Чтобы найти $T_{1/2}$, возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения: $$ \ln(2) = \ln(e^{\lambda T_{1/2}}) $$ $$ \ln(2) = \lambda T_{1/2} $$ Отсюда следует связь между периодом полураспада и постоянной распада: $$ T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda} $$

Важно отметить, что период полураспада является константой для каждого конкретного радионуклида и не зависит от внешних факторов, таких как температура, давление или химическое соединение, в котором находится атом. Например, период полураспада урана-238 составляет около 4.5 миллиардов лет, углерода-14 — около 5730 лет, а радона-222 — всего 3.8 дня. Это свойство широко используется в радиоуглеродном датировании, ядерной энергетике и медицине.

Ответ: Период полураспада — это время, за которое распадается половина от исходного количества радиоактивных ядер.

2. Можно ли предсказать момент распада данного ядра?

2. Нет, предсказать точный момент распада одного, конкретно взятого атомного ядра, невозможно. Это один из фундаментальных принципов квантовой механики.

Радиоактивный распад является случайным (стохастическим) процессом. Это означает, что для любого нестабильного ядра существует определенная вероятность распада в единицу времени, но невозможно сказать, когда именно это событие произойдет. Все идентичные радиоактивные ядра абсолютно одинаковы, и нет никакого "внутреннего счетчика", который бы определял, когда ядру "пора" распадаться. Ядро, существующее одну секунду, имеет точно такую же вероятность распасться в следующую секунду, как и ядро, существующее миллионы лет.

Однако, если мы рассматриваем не одно ядро, а очень большое их количество (ансамбль), то их поведение становится статистически предсказуемым. Для характеристики скорости распада макроскопического образца вещества используют величину, называемую периодом полураспада ($T_{1/2}$).

Период полураспада — это время, за которое в среднем распадается половина от исходного числа радиоактивных ядер. Эта величина является постоянной для каждого конкретного изотопа. Она связана с постоянной распада $\lambda$ (вероятностью распада одного ядра в единицу времени) следующим соотношением:

$T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$

Таким образом, мы можем точно предсказать, какая доля ядер распадется в образце за определенный промежуток времени, но судьба каждого отдельного ядра остается неизвестной до момента его распада.

Ответ: Нет, предсказать точный момент распада данного (одного) ядра невозможно, так как радиоактивный распад — это случайный квантово-механический процесс. Можно лишь говорить о вероятности распада и предсказывать поведение большого числа ядер.

3. Почему закон радиоактивного распада считают статистическим законом?

3. Закон радиоактивного распада считают статистическим, потому что он описывает поведение не отдельного радиоактивного ядра, а огромного ансамбля (совокупности) таких ядер.

Радиоактивный распад отдельного атомного ядра — это спонтанный, случайный процесс. Невозможно точно предсказать, в какой именно момент времени конкретное ядро распадется. Можно лишь охарактеризовать вероятность его распада в течение некоторого промежутка времени. Эта вероятность, называемая постоянной распада ($\lambda$), является фундаментальной характеристикой данного вида ядер, но не определяет точное время жизни одного конкретного ядра.

Однако, когда речь идет о макроскопическом образце вещества, содержащем огромное количество радиоактивных ядер, поведение этой совокупности в целом становится предсказуемым. Закон радиоактивного распада, который математически выражается формулой $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$, где $N_0$ — начальное число радиоактивных ядер, а $N(t)$ — число нераспавшихся ядер к моменту времени $t$, позволяет с высокой точностью рассчитать, какая часть ядер распадется за определенное время. Этот закон является следствием применения теории вероятностей к большому числу независимых случайных событий. Понятие периода полураспада ($T_{1/2}$) также является статистической характеристикой, показывающей время, за которое распадется в среднем половина от исходного числа ядер.

Законы, описывающие закономерности в поведении больших совокупностей объектов на основе случайного характера поведения каждого отдельного объекта, называются статистическими.

Ответ: Закон радиоактивного распада называют статистическим, потому что он описывает среднее поведение большого числа радиоактивных ядер и основан на теории вероятностей. Он позволяет предсказать, какая доля ядер распадется за определенное время, но не дает возможности предсказать точный момент распада каждого отдельного ядра, так как этот процесс является случайным (спонтанным).

1. Радиоактивный изотоп имеет период полураспада 2 мин. Сколько ядер из 1000 ядер этого изотопа испытает радиоактивный распад за 2 мин?

1) точно 500 ядер

2) 500 или немного меньше ядер

3) 500 или немного больше ядер

4) около 500 ядер, может быть, немного больше или немного меньше

1. Дано:

Начальное количество ядер изотопа: $N_0 = 1000$
Период полураспада изотопа: $T_{1/2} = 2$ мин
Промежуток времени: $t = 2$ мин

Найти:

Количество ядер, испытавших радиоактивный распад за время $t$.

Решение:

Период полураспада $T_{1/2}$ — это время, в течение которого в среднем распадается половина исходного количества радиоактивных ядер. В условии задачи рассматриваемый промежуток времени $t = 2$ мин совпадает с периодом полураспада $T_{1/2} = 2$ мин.

Это означает, что за 2 минуты мы ожидаем распада половины из 1000 ядер. Ожидаемое число распавшихся ядер $\Delta N$ можно рассчитать так: $\Delta N = \frac{N_0}{2} = \frac{1000}{2} = 500$ ядер.

Однако ключевым моментом является то, что радиоактивный распад — это вероятностный (стохастический) процесс. Нельзя предсказать, какое именно ядро распадётся в следующий момент времени. Закон радиоактивного распада является статистическим и точно выполняется только для очень большого числа ядер.

Для конечного, хотя и большого, числа ядер (1000) реальное число распавшихся атомов будет подвержено статистическим флуктуациям. Это означает, что фактическое число распавшихся ядер будет близко к 500, но с высокой вероятностью не будет равно ему в точности. Оно может быть как немного больше (например, 504), так и немного меньше (например, 496).

Поэтому самый точный ответ — тот, который учитывает эту случайность. Вариант «точно 500 ядер» был бы верен, если бы распад был детерминированным процессом, но это не так. Варианты, допускающие отклонение только в одну сторону («больше» или «меньше»), также неверны, поскольку флуктуации могут происходить в любом направлении от среднего значения. Следовательно, правильный ответ должен отражать, что число распавшихся ядер будет «около 500», с возможностью отклонения в обе стороны.

Ответ: 4) около 500 ядер, может быть, немного больше или немного меньше.

2. На рисунке показан график изменения массы находящегося в пробирке радиоактивного изотопа с течением времени. Период полураспада этого изотопа равен

1) 1 мес.; 2) 2 мес.; 3) 4 мес.; 4) 8 мес.

Дано:

На изображении представлен график зависимости массы радиоактивного изотопа $m$ от времени $t$. Из графика можно определить следующие значения:

• Масса в момент времени $t_1 = 2 \text{ мес}$ составляет $m_1 = 1 \text{ мг}$.
• Масса в момент времени $t_2 = 4 \text{ мес}$ составляет $m_2 = 0.5 \text{ мг}$.

Перевод в систему СИ (для решения данной задачи не требуется, так как ответ необходимо дать в месяцах, но приведем для справки):

• $m_1 = 1 \text{ мг} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$
• $m_2 = 0.5 \text{ мг} = 0.5 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$
• Принимая 1 месяц равным 30 дням: $t_1 = 2 \text{ мес} \approx 2 \cdot 30 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 5.184 \cdot 10^6 \text{ с}$
• $t_2 = 4 \text{ мес} \approx 4 \cdot 30 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 10.368 \cdot 10^6 \text{ с}$

Найти:

Период полураспада $T$.

Решение:

Период полураспада $T$ — это промежуток времени, в течение которого масса радиоактивного вещества уменьшается в два раза. Закон радиоактивного распада описывается формулой: $m(t) = m_0 \cdot 2^{-t/T}$, где $m_0$ — начальная масса вещества, $m(t)$ — масса вещества в момент времени $t$, $T$ — период полураспада.

Для нахождения периода полураспада по графику необходимо найти время, за которое масса изотопа уменьшилась вдвое. Проанализируем график.

Выберем на графике точку с легко читаемыми координатами. Например, в момент времени $t_1 = 2 \text{ мес}$ масса изотопа составляет $m_1 = 1 \text{ мг}$.

Теперь найдем на графике момент времени $t_2$, когда масса изотопа станет в два раза меньше, то есть $m_2 = m_1 / 2 = 1 \text{ мг} / 2 = 0.5 \text{ мг}$.

Из графика видно, что масса $m = 0.5 \text{ мг}$ достигается в момент времени $t_2 = 4 \text{ мес}$.

Таким образом, время, за которое масса уменьшилась вдвое, равно разности $t_2$ и $t_1$: $T = t_2 - t_1 = 4 \text{ мес} - 2 \text{ мес} = 2 \text{ мес}$.

Следовательно, период полураспада данного изотопа равен 2 месяцам. Это соответствует варианту ответа 2.

Ответ: 2 мес.

3. Активность радиоактивного элемента уменьшилась в 4 раза за 8 дней. Чему равен период полураспада этого элемента?

1) 32 дня

2) 16 дней

3) 4 дня

4) 2 дня

Дано:

Уменьшение активности: $\frac{A_0}{A} = 4$
Время: $t = 8$ дней

Найти:

Период полураспада $T$

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает, как изменяется активность радиоактивного вещества со временем. Формула закона радиоактивного распада выглядит следующим образом:

$A = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

где $A$ — активность в момент времени $t$, $A_0$ — начальная активность, $t$ — прошедшее время, а $T$ — период полураспада.

По условию задачи, активность элемента уменьшилась в 4 раза за 8 дней. Это означает, что $A = \frac{A_0}{4}$ при $t = 8$ дней. Подставим эти значения в формулу:

$\frac{A_0}{4} = A_0 \cdot 2^{-\frac{8}{T}}$

Сократим $A_0$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{4} = 2^{-\frac{8}{T}}$

Чтобы решить это уравнение, представим левую часть в виде степени с основанием 2:

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

Теперь уравнение принимает вид:

$2^{-2} = 2^{-\frac{8}{T}}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-2 = -\frac{8}{T}$

Отсюда находим $T$:

$2 = \frac{8}{T}$

$T = \frac{8}{2} = 4$ дня.

Также можно рассуждать иначе. Период полураспада — это время, за которое активность вещества уменьшается в 2 раза. Чтобы активность уменьшилась в 4 раза ($4 = 2 \cdot 2$), должно пройти два периода полураспада. Если два периода полураспада ($2T$) равны 8 дням, то один период полураспада ($T$) равен $8 / 2 = 4$ дня.

Ответ: 4 дня.

4. Какая доля радиоактивных атомов останется нераспавшейся через интервал времени, равный двум периодам полураспада?

1) 25 %

2) 50 %

3) 75 %

4) 100 %

4. Дано:

Интервал времени $t$ равен двум периодам полураспада $T_{1/2}$.
$t = 2 \cdot T_{1/2}$

Найти:

Долю нераспавшихся атомов $\frac{N}{N_0}$ в процентах.

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает, как со временем уменьшается количество радиоактивных ядер. Формула закона радиоактивного распада выглядит следующим образом:

$N = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

где $N$ — число нераспавшихся радиоактивных ядер в момент времени $t$, $N_0$ — начальное число радиоактивных ядер, $t$ — прошедшее время, а $T_{1/2}$ — период полураспада.

Период полураспада ($T_{1/2}$) — это время, в течение которого распадается половина исходного числа радиоактивных ядер.

В задаче дан интервал времени, равный двум периодам полураспада, то есть $t = 2 \cdot T_{1/2}$. Подставим это значение в формулу:

$N = N_0 \cdot 2^{-\frac{2 \cdot T_{1/2}}{T_{1/2}}} = N_0 \cdot 2^{-2} = N_0 \cdot \frac{1}{2^2} = N_0 \cdot \frac{1}{4}$

Отсюда мы можем найти долю нераспавшихся атомов, разделив $N$ на $N_0$:

$\frac{N}{N_0} = \frac{1}{4}$

Чтобы выразить эту долю в процентах, умножим её на 100%:

$\frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$

Также можно рассуждать по шагам: изначально имеется 100% радиоактивных атомов; через один период полураспада останется половина от начального количества, то есть $100\% / 2 = 50\%$; еще через один период полураспада (всего прошло два периода) останется половина от того, что было после первого периода, то есть $50\% / 2 = 25\%$.

Таким образом, через два периода полураспада останется 25% от первоначального числа радиоактивных атомов.

Ответ: 1) 25 %.