Номер 3, страница 56 - гдз по физике 11 класс тетрадь для лабораторных работ Парфентьева

Лабораторная работа № 11. Оценка информационной ёмкости CD-диска - номер 3, страница 56.

Условие.

3. Порядок выполнения работы

1. Составьте таблицу и записывайте в неё результаты измерений, а также длину волны лазерного луча (обычно $\lambda = 0,6 \text{ мкм}$).

2. С помощью пластилина закрепите CD-диск на столе таким образом, чтобы его плоскость была перпендикулярна плоскости стола.

3. Разместите лазерную указку на стопке тетрадей так, чтобы лазерный луч был параллелен столу, направлен перпендикулярно диску и попадал на его рабочую поверхность. Рекомендуемое расстояние между выходным окном лазера и диском 100—150 мм.

4. Поместите лист бумаги за лазером и наблюдайте световые пятна, соответствующие различным порядкам дифракции.

5. Проделайте в бумаге маленькое отверстие. Поместите лист бумаги на пути луча. Лазерный луч должен проходить через отверстие, и на бумаге должны появиться два симметричных пятна, соответствующие спектру первого порядка (рис. 35).

6. Отметьте карандашом положения этих пятен.

7. Измерьте расстояние $2l$ между этими пятнами (см. рис. 35).

8. Измерьте расстояние $L$ между листом бумаги и диском (см. рис. 34).

Решение.

В данном эксперименте компакт-диск (CD) используется в качестве отражательной дифракционной решетки. Дорожки на диске представляют собой спиральные борозды, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга. Это расстояние, называемое периодом или постоянной дифракционной решетки, обозначается буквой $d$.

Когда луч лазера падает перпендикулярно на поверхность диска, он дифрагирует на этих дорожках. Условие для наблюдения максимумов света (ярких пятен) при дифракции на решетке описывается формулой:

$d \sin{\theta_m} = m \lambda$

В этой формуле: $d$ – период дифракционной решетки (расстояние между соседними дорожками на CD), $\theta_m$ – угол, под которым наблюдается максимум $m$-го порядка, $m$ – порядок максимума (целое число: $0, \pm 1, \pm 2, \dots$), $\lambda$ – длина волны лазерного излучения.

В эксперименте наблюдаются симметричные пятна, соответствующие спектру первого порядка, то есть для $m=1$. Формула для первого максимума принимает вид:

$d \sin{\theta_1} = \lambda$

Из этой формулы можно выразить искомый период решетки $d$:

$d = \frac{\lambda}{\sin{\theta_1}}$

Для нахождения синуса угла дифракции $\sin{\theta_1}$ воспользуемся геометрией установки. Луч лазера падает на диск, отражается и создает на экране (листе бумаги) дифракционную картину. Расстояние от диска до экрана равно $L$. Расстояние от центрального максимума (отверстие в бумаге, через которое проходит луч) до максимума первого порядка равно $l$. Расстояние между двумя симметричными максимумами первого порядка равно $2l$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой падения луча на диск, положением центрального максимума и положением максимума первого порядка. Катетами этого треугольника являются расстояние $L$ (от диска до экрана) и расстояние $l$ (от центра до пятна первого порядка). Гипотенуза равна расстоянию, которое прошел дифрагированный луч от диска до пятна на экране. Угол $\theta_1$ – это угол между перпендикуляром к решетке (направлением падающего луча) и направлением на первый максимум.

Из этого треугольника по теореме Пифагора гипотенуза равна $\sqrt{L^2 + l^2}$. Синус угла $\theta_1$ определяется как отношение противолежащего катета $l$ к гипотенузе:

$\sin{\theta_1} = \frac{l}{\sqrt{L^2 + l^2}}$

Подставив это выражение в формулу для периода решетки, получим расчетную формулу:

$d = \frac{\lambda}{\frac{l}{\sqrt{L^2 + l^2}}} = \frac{\lambda \sqrt{L^2 + l^2}}{l}$

Так как в ходе эксперимента измеряется расстояние $2l$, то для расчетов используется $l = \frac{2l}{2}$.

Далее приведен пример расчета на основе данных, которые могли бы быть получены в ходе выполнения описанной работы.

Дано
Длина волны лазера: $\lambda = 0,6 \text{ мкм}$
Расстояние между симметричными пятнами первого порядка: $2l = 20 \text{ см}$
Расстояние от диска до экрана: $L = 25 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:
$\lambda = 0,6 \cdot 10^{-6} \text{ м}$
$2l = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м} \Rightarrow l = 0,1 \text{ м}$
$L = 25 \text{ см} = 0,25 \text{ м}$

Найти:
$d$ - период дифракционной решетки (расстояние между дорожками CD).

Решение

1. Воспользуемся выведенной ранее формулой для расчета периода дифракционной решетки:

$d = \frac{\lambda \sqrt{L^2 + l^2}}{l}$

2. Подставим числовые значения в систему СИ в эту формулу:

$d = \frac{0,6 \cdot 10^{-6} \cdot \sqrt{(0,25)^2 + (0,1)^2}}{0,1}$

3. Вычислим значение под корнем:

$L^2 + l^2 = (0,25)^2 + (0,1)^2 = 0,0625 + 0,01 = 0,0725 \text{ м}^2$

$\sqrt{L^2 + l^2} = \sqrt{0,0725} \approx 0,2693 \text{ м}$

4. Подставим результат в основную формулу и вычислим $d$:

$d = \frac{0,6 \cdot 10^{-6} \cdot 0,2693}{0,1} = 6 \cdot 10^{-6} \cdot 0,2693 \approx 1,6158 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

5. Переведем результат в микрометры (мкм) для сравнения со стандартным значением:

$d = 1,6158 \cdot 10^{-6} \text{ м} \approx 1,62 \text{ мкм}$

Полученное значение близко к стандартному значению шага дорожек для CD, которое составляет около 1,6 мкм.

Ответ: Период дифракционной решетки (расстояние между дорожками) компакт-диска, рассчитанный по результатам эксперимента, составляет приблизительно $d \approx 1,62 \cdot 10^{-6} \text{ м}$ или $1,62 \text{ мкм}$.