Номер 6.89, страница 143 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Принципы радиосвязи - номер 6.89, страница 143.

Условие.

6.89. На какую длину волны настроен колебательный контур, если он состоит из катушки индуктивностью $2 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$ и плоского конденсатора, расстояние между пластинами которого $1 \text{ см}$, диэлектрическая проницаемость диэлектрика — $\text{11}$, а площадь пластин — $800 \text{ см}^2$?

Решение.

Дано:

$L = 2 \cdot 10^{-3}$ Гн

$d = 1$ см

$\varepsilon = 11$

$S = 800$ см$^2$

$c = 3 \cdot 10^8$ м/с (скорость света в вакууме)

$\varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м (электрическая постоянная)

Перевод в систему СИ:
$d = 1 \text{ см} = 1 \cdot 10^{-2} \text{ м}$
$S = 800 \text{ см}^2 = 800 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 800 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 8 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2$

Найти:

$\lambda$ — ?

Решение:

Длина волны $\lambda$, на которую настроен колебательный контур, связана с периодом $\text{T}$ электромагнитных колебаний в нем и скоростью света $\text{c}$ соотношением:

$\lambda = c \cdot T$

Период колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $\text{L}$ — индуктивность катушки, а $\text{C}$ — ёмкость конденсатора.

Подставим выражение для периода в формулу для длины волны:

$\lambda = 2\pi c \sqrt{LC}$

Ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком между пластинами рассчитывается по формуле:

$C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

где $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $\text{S}$ — площадь пластин, $\text{d}$ — расстояние между ними.

Подставим все данные в СИ в формулу для ёмкости:

$C = \frac{11 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 8 \cdot 10^{-2} \text{ м}^2}{1 \cdot 10^{-2} \text{ м}} = 778.8 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \approx 7.79 \cdot 10^{-10}$ Ф.

Теперь рассчитаем длину волны, подставив значения $\text{L}$ и $\text{C}$:

$\lambda = 2\pi \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot \sqrt{2 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 7.79 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}}$

$\lambda \approx 6.28 \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{15.58 \cdot 10^{-13}} \text{ м}$

$\lambda \approx 18.84 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{1.558 \cdot 10^{-12}} \text{ м}$

$\lambda \approx 18.84 \cdot 10^8 \cdot 1.248 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

$\lambda \approx 23.51 \cdot 10^2 \text{ м} \approx 2351$ м.

Также можно подставить формулу для ёмкости в формулу для длины волны и произвести единый расчет:

$\lambda = 2\pi c \sqrt{L \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}} = 2\pi \cdot 3 \cdot 10^8 \sqrt{2 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{11 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 8 \cdot 10^{-2}}{1 \cdot 10^{-2}}} \approx 2353 \text{ м}$

Ответ: $\lambda \approx 2353$ м.