Номер 6.92, страница 143 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Принципы радиосвязи - номер 6.92, страница 143.

Условие.

6.92. В каком диапазоне длин волн работает приёмник, если ёмкость конденсатора колебательного контура можно плавно изменять от 200 до 1800 пФ, а индуктивность катушки постоянна и равна 60 мкГн?

Решение.

Дано:

$C_{min} = 200 \text{ пФ} = 200 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 2 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}$

$C_{max} = 1800 \text{ пФ} = 1800 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 1.8 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}$

$L = 60 \text{ мкГн} = 60 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} = 6 \cdot 10^{-5} \text{ Гн}$

$c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$ (скорость света в вакууме)

Найти:

Диапазон длин волн $\lambda_{min} - \lambda_{max}$.

Решение:

Приёмник настраивается на определённую длину волны $\lambda$ за счёт изменения параметров его колебательного контура. Длина волны связана с периодом собственных колебаний контура $\text{T}$ соотношением $\lambda = cT$, где $\text{c}$ — скорость распространения электромагнитных волн.

Период колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Объединив эти две формулы, получим выражение для расчёта длины волны, на которую настроен контур:

$\lambda = 2\pi c \sqrt{LC}$

В данной задаче индуктивность катушки $\text{L}$ постоянна, а ёмкость конденсатора $\text{C}$ можно изменять. Следовательно, диапазон принимаемых длин волн будет определяться диапазоном изменения ёмкости от $C_{min}$ до $C_{max}$.

1. Вычислим минимальную длину волны $\lambda_{min}$, которая соответствует минимальной ёмкости $C_{min}$:

$\lambda_{min} = 2\pi c \sqrt{LC_{min}} = 2\pi \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{6 \cdot 10^{-5} \text{ Гн} \cdot 2 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}}$

$\lambda_{min} = 6\pi \cdot 10^8 \cdot \sqrt{12 \cdot 10^{-15} \text{ с}^2} = 6\pi \cdot 10^8 \cdot \sqrt{1.2 \cdot 10^{-14} \text{ с}^2}$

$\lambda_{min} = 6\pi \cdot 10^8 \cdot 1.0954 \cdot 10^{-7} \text{ с} \approx 206.5 \text{ м}$

2. Вычислим максимальную длину волны $\lambda_{max}$, которая соответствует максимальной ёмкости $C_{max}$:

$\lambda_{max} = 2\pi c \sqrt{LC_{max}} = 2\pi \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{6 \cdot 10^{-5} \text{ Гн} \cdot 1.8 \cdot 10^{-9} \text{ Ф}}$

$\lambda_{max} = 6\pi \cdot 10^8 \cdot \sqrt{10.8 \cdot 10^{-14} \text{ с}^2}$

$\lambda_{max} = 6\pi \cdot 10^8 \cdot 3.2863 \cdot 10^{-7} \text{ с} \approx 619.5 \text{ м}$

Для проверки можно использовать тот факт, что $\lambda$ пропорциональна $\sqrt{C}$. Отношение максимальной и минимальной ёмкостей равно $C_{max} / C_{min} = 1800 / 200 = 9$. Тогда отношение соответствующих длин волн должно быть $\lambda_{max} / \lambda_{min} = \sqrt{9} = 3$.

Проверяем: $3 \cdot \lambda_{min} = 3 \cdot 206.5 \text{ м} = 619.5 \text{ м}$, что совпадает с рассчитанным значением $\lambda_{max}$.

Ответ: Приемник работает в диапазоне длин волн от 206,5 м до 619,5 м.