Номер 6.94, страница 143 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Принципы радиосвязи - номер 6.94, страница 143.

Условие.

6.94*. Контур радиоприёмника настроен на длину волны 25 м. Во сколько раз и как нужно изменить расстояние между пластинами плоского конденсатора в контуре приёмника при переходе к приёму волны длиной:

а) 100 м;

б) 2 м?

Решение.

Дано:

Начальная длина волны, на которую настроен контур, $ \lambda_1 = 25 $ м.

Конечная длина волны в случае а), $ \lambda_{2a} = 100 $ м.

Конечная длина волны в случае б), $ \lambda_{2b} = 2 $ м.

Найти:

Во сколько раз и как нужно изменить расстояние между пластинами конденсатора $ \frac{d_2}{d_1} $ для случаев а) и б).

Решение:

Длина волны $ \lambda $, на которую настроен колебательный контур радиоприёмника, связана с его периодом собственных колебаний $ T $ соотношением $ \lambda = cT $, где $ c $ — скорость света в вакууме.

Период колебаний в LC-контуре определяется по формуле Томсона: $ T = 2\pi\sqrt{LC} $, где $ L $ — индуктивность катушки, а $ C $ — ёмкость конденсатора.

Объединив эти две формулы, получим зависимость длины волны от параметров контура: $ \lambda = 2\pi c \sqrt{LC} $.

Из этой формулы видно, что длина волны пропорциональна квадратному корню из ёмкости: $ \lambda \propto \sqrt{C} $ (так как индуктивность катушки $ L $ и скорость света $ c $ в данном случае являются постоянными величинами).

Ёмкость плоского конденсатора определяется формулой: $ C = \frac{\epsilon_0 \epsilon S}{d} $, где $ \epsilon_0 $ — электрическая постоянная, $ \epsilon $ — диэлектрическая проницаемость среды между пластинами, $ S $ — площадь пластин, $ d $ — расстояние между пластинами.

При настройке приёмника изменяется только расстояние $ d $ между пластинами конденсатора. Следовательно, ёмкость обратно пропорциональна расстоянию: $ C \propto \frac{1}{d} $.

Подставим эту зависимость в выражение для длины волны: $ \lambda \propto \sqrt{\frac{1}{d}} $, то есть $ \lambda \propto \frac{1}{\sqrt{d}} $.

Возведя обе части пропорциональности в квадрат, получим: $ \lambda^2 \propto \frac{1}{d} $, или $ d \propto \frac{1}{\lambda^2} $.

Это означает, что расстояние между пластинами конденсатора обратно пропорционально квадрату длины волны, на которую настроен контур.

Мы можем записать соотношение для начального (индекс 1) и конечного (индекс 2) состояний:

$ \frac{d_2}{d_1} = \frac{1/\lambda_2^2}{1/\lambda_1^2} = \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^2 $

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

а) 100 м

Переходим с длины волны $ \lambda_1 = 25 $ м на $ \lambda_{2a} = 100 $ м. Подставим значения в полученную формулу:

$ \frac{d_{2a}}{d_1} = \left(\frac{25 \text{ м}}{100 \text{ м}}\right)^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} $

Это означает, что $ d_{2a} = \frac{1}{16}d_1 $. Таким образом, для перехода на большую длину волны расстояние между пластинами конденсатора нужно уменьшить в 16 раз.

Ответ: расстояние между пластинами нужно уменьшить в 16 раз.

б) 2 м

Переходим с длины волны $ \lambda_1 = 25 $ м на $ \lambda_{2b} = 2 $ м. Подставим значения в формулу:

$ \frac{d_{2b}}{d_1} = \left(\frac{25 \text{ м}}{2 \text{ м}}\right)^2 = \frac{625}{4} = 156,25 $

Это означает, что $ d_{2b} = 156,25 d_1 $. Таким образом, для перехода на меньшую длину волны расстояние между пластинами конденсатора нужно увеличить в 156,25 раза.

Ответ: расстояние между пластинами нужно увеличить в 156,25 раза.