Номер 6.98, страница 143 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Принципы радиосвязи - номер 6.98, страница 143.

Условие.

6.98. При подаче на конденсатор напряжения 1 мВ на его обкладках накапливается заряд 1 нКл. На какую длину волны резонирует колебательный контур, состоящий из этого конденсатора и катушки индуктивностью 1,4 мкГн?

Решение.

Дано:

$U = 1 \text{ мВ}$

$q = 1 \text{ нКл}$

$L = 1.4 \text{ мкГн}$

$c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:

$U = 1 \cdot 10^{-3} \text{ В}$

$q = 1 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$L = 1.4 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

Найти:

$\lambda - ?$

Решение:

Для решения задачи необходимо сначала определить электроёмкость конденсатора, зная напряжение на его обкладках и накопленный заряд. Электроёмкость $\text{C}$ вычисляется по формуле:

$C = \frac{q}{U}$

Колебательный контур, состоящий из конденсатора ёмкостью $\text{C}$ и катушки индуктивностью $\text{L}$, имеет период собственных электромагнитных колебаний $\text{T}$, который определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Длина волны $\lambda$, на которую резонирует контур, связана с периодом колебаний $\text{T}$ и скоростью света в вакууме $\text{c}$ следующим соотношением:

$\lambda = c \cdot T$

Объединим формулы, чтобы получить выражение для длины волны:

$\lambda = c \cdot 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi c \sqrt{L \frac{q}{U}}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ и произведём вычисления.

Сначала найдем ёмкость конденсатора:

$C = \frac{1 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{1 \cdot 10^{-3} \text{ В}} = 10^{-6} \text{ Ф}$

Теперь рассчитаем длину волны:

$\lambda = 2\pi \cdot 3 \cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \sqrt{1.4 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \cdot 10^{-6} \text{ Ф}}$

$\lambda = 6\pi \cdot 10^8 \cdot \sqrt{1.4 \cdot 10^{-12}} = 6\pi \cdot 10^8 \cdot \sqrt{1.4} \cdot 10^{-6} \text{ м}$

$\lambda = 600\pi\sqrt{1.4} \text{ м} \approx 600 \cdot 3.1416 \cdot 1.1832 \text{ м} \approx 2229.6 \text{ м}$

Округлим результат до трёх значащих цифр.

$\lambda \approx 2230 \text{ м}$

Ответ: резонансная длина волны колебательного контура составляет примерно $2230 \text{ м}$.