Номер 6.99, страница 144 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Принципы радиосвязи - номер 6.99, страница 144.

Условие.

6.99*. В катушке входного контура приёмника индуктивностью $10 \text{ мкГн}$ запасается при приёме волны максимальная энергия $4 \cdot 10^{-15} \text{ Дж}$. На конденсаторе контура максимальная разность потенциалов $5 \cdot 10^{-4} \text{ В}$. Определите длину волны, на которую настроен приёмник.

Решение.

Дано:

$L = 10 \text{ мкГн} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} = 10^{-5} \text{ Гн}$
$W_{L,max} = 4 \cdot 10^{-15} \text{ Дж}$
$U_{C,max} = 5 \cdot 10^{-4} \text{ В}$
$c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

$\lambda$

Решение:

Приёмник настроен на определённую длину волны, это означает, что частота электромагнитной волны совпадает с собственной частотой колебаний входного LC-контура (явление резонанса). Длина волны $\lambda$ связана с периодом $\text{T}$ собственных колебаний контура и скоростью света $\text{c}$ соотношением:

$\lambda = c \cdot T$

Период свободных электромагнитных колебаний в контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $\text{L}$ – индуктивность катушки, а $\text{C}$ – ёмкость конденсатора.Таким образом, для нахождения длины волны необходимо определить ёмкость конденсатора $\text{C}$.

В колебательном контуре происходит превращение энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. По закону сохранения энергии, максимальная энергия, запасённая в катушке, равна максимальной энергии, запасённой в конденсаторе:

$W_{L,max} = W_{C,max}$

Максимальная энергия, запасаемая в конденсаторе, вычисляется по формуле:

$W_{C,max} = \frac{C U_{C,max}^2}{2}$

Приравняв максимальные энергии, выразим ёмкость $\text{C}$:

$\frac{C U_{C,max}^2}{2} = W_{L,max}$

$C = \frac{2 W_{L,max}}{U_{C,max}^2}$

Теперь подставим выражение для ёмкости в формулу для длины волны:

$\lambda = 2\pi c \sqrt{L \cdot \frac{2 W_{L,max}}{U_{C,max}^2}} = 2\pi c \frac{\sqrt{2 L W_{L,max}}}{U_{C,max}}$

Подставим числовые значения и произведём вычисления:

$\lambda = 2\pi \cdot 3 \cdot 10^8 \frac{\sqrt{2 \cdot 10^{-5} \cdot 4 \cdot 10^{-15}}}{5 \cdot 10^{-4}} = 6\pi \cdot 10^8 \frac{\sqrt{8 \cdot 10^{-20}}}{5 \cdot 10^{-4}}$

$\lambda = 6\pi \cdot 10^8 \frac{2\sqrt{2} \cdot 10^{-10}}{5 \cdot 10^{-4}} = \frac{12\pi\sqrt{2}}{5} \cdot 10^{8-10+4} = \frac{12\pi\sqrt{2}}{5} \cdot 10^2$

$\lambda \approx \frac{12 \cdot 3.14 \cdot 1.414}{5} \cdot 100 \approx \frac{53.28}{5} \cdot 100 \approx 10.656 \cdot 100 \approx 1066 \text{ м}$

Ответ: $\lambda \approx 1066 \text{ м}$.