Номер 6.93, страница 143 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Принципы радиосвязи - номер 6.93, страница 143.

Условие.

6.93. Каков диапазон частот собственных колебаний в контуре, если его индуктивность можно изменить в пределах от 0,1 до 10 мкГн, а ёмкость — в пределах от 50 до 500 пФ?

Решение.

Дано:

$L_{min} = 0,1 \text{ мкГн} = 0,1 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} = 10^{-7} \text{ Гн}$

$L_{max} = 10 \text{ мкГн} = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} = 10^{-5} \text{ Гн}$

$C_{min} = 50 \text{ пФ} = 50 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 5 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$

$C_{max} = 500 \text{ пФ} = 500 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 5 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}$

Найти:

Диапазон частот $f_{min} - f_{max}$

Решение:

Частота собственных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\text{L}$ — индуктивность катушки, а $\text{C}$ — ёмкость конденсатора.

Из формулы видно, что частота $\text{f}$ обратно пропорциональна квадратному корню из произведения индуктивности $\text{L}$ и ёмкости $\text{C}$. Следовательно, максимальная частота $f_{max}$ будет достигаться при минимальных значениях индуктивности $L_{min}$ и ёмкости $C_{min}$. Минимальная частота $f_{min}$ будет достигаться при максимальных значениях $L_{max}$ и $C_{max}$.

Найдем максимальную частоту собственных колебаний:

$f_{max} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_{min}C_{min}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-7} \text{ Гн} \cdot 5 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{5 \cdot 10^{-18} \text{ с}^2}}$

$f_{max} = \frac{1}{2\pi \cdot \sqrt{5} \cdot 10^{-9} \text{ с}} \approx \frac{1}{6,283 \cdot 2,236 \cdot 10^{-9} \text{ с}} \approx \frac{1}{14,05 \cdot 10^{-9} \text{ с}} \approx 7,12 \cdot 10^7 \text{ Гц} = 71,2 \text{ МГц}$

Найдем минимальную частоту собственных колебаний:

$f_{min} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_{max}C_{max}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-5} \text{ Гн} \cdot 5 \cdot 10^{-10} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{5 \cdot 10^{-15} \text{ с}^2}}$

$f_{min} = \frac{1}{2\pi\sqrt{50 \cdot 10^{-16} \text{ с}^2}} = \frac{1}{2\pi \cdot 5\sqrt{2} \cdot 10^{-8} \text{ с}} \approx \frac{1}{6,283 \cdot 5 \cdot 1,414 \cdot 10^{-8} \text{ с}} \approx \frac{1}{44,42 \cdot 10^{-8} \text{ с}} \approx 2,25 \cdot 10^6 \text{ Гц} = 2,25 \text{ МГц}$

Таким образом, диапазон частот собственных колебаний в контуре составляет от 2,25 МГц до 71,2 МГц.

Ответ: Диапазон частот составляет от 2,25 МГц до 71,2 МГц.