Номер 6.91, страница 143 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Принципы радиосвязи - номер 6.91, страница 143.

Условие.

6.91. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 0,5 Гн и конденсатора переменной ёмкости. При какой ёмкости колебательный контур будет настроен в резонанс с радиостанцией, работающей на длине волны 400 м?

Решение.

Дано:

Индуктивность катушки, $L = 0,5$ Гн

Длина волны радиостанции, $\lambda = 400$ м

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Все исходные данные представлены в системе СИ.

Найти:

Ёмкость конденсатора, $\text{C}$

Решение:

Условие резонанса в колебательном контуре заключается в том, что собственная частота колебаний контура должна быть равна частоте внешней электромагнитной волны (в данном случае, радиостанции). Это также означает, что периоды их колебаний равны.

Период собственных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Период электромагнитной волны связан с её длиной $\lambda$ и скоростью света $\text{c}$ следующим соотношением:

$T = \frac{\lambda}{c}$

Приравнивая выражения для периода, получаем условие для резонанса:

$2\pi\sqrt{LC} = \frac{\lambda}{c}$

Для нахождения ёмкости $\text{C}$ выразим её из этого уравнения. Возведём обе части уравнения в квадрат:

$(2\pi\sqrt{LC})^2 = \left(\frac{\lambda}{c}\right)^2$

$4\pi^2LC = \frac{\lambda^2}{c^2}$

Теперь выразим ёмкость $\text{C}$:

$C = \frac{\lambda^2}{4\pi^2c^2L}$

Подставим известные числовые значения в полученную формулу для расчёта ёмкости:

$C = \frac{(400\ \text{м})^2}{4\pi^2 (3 \cdot 10^8\ \text{м/с})^2 \cdot 0,5\ \text{Гн}} = \frac{160000}{4\pi^2 \cdot 9 \cdot 10^{16} \cdot 0,5} = \frac{16 \cdot 10^4}{18\pi^2 \cdot 10^{16}}\ \text{Ф}$

Проведём вычисления, приняв $\pi \approx 3,14$:

$C = \frac{8}{9\pi^2} \cdot 10^{-12}\ \text{Ф} \approx \frac{8}{9 \cdot (3,14)^2} \cdot 10^{-12}\ \text{Ф} \approx \frac{8}{88,7364} \cdot 10^{-12}\ \text{Ф} \approx 0,09015 \cdot 10^{-12}\ \text{Ф}$

Результат можно записать в стандартном виде или в пикофарадах ($1\ \text{пФ} = 10^{-12}\ \text{Ф}$):

$C \approx 9,0 \cdot 10^{-14}\ \text{Ф} = 0,090\ \text{пФ}$

Ответ: ёмкость колебательного контура должна быть примерно равна $9,0 \cdot 10^{-14}$ Ф (или 0,09 пФ).