Номер 6.90, страница 143 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 6. Волны. Принципы радиосвязи - номер 6.90, страница 143.

Условие.

6.90. Катушка приёмного контура радиоприёмника имеет индуктивность 1 мкГн. Какова ёмкость конденсатора, если идёт приём станции, работающей на длине волны 1000 м?

Решение.

Дано:

$L = 1$ мкГн
$\lambda = 1000$ м
$c = 3 \cdot 10^8$ м/с (скорость света)

В системе СИ:
$L = 1 \cdot 10^{-6}$ Гн

Найти:

$\text{C}$ — ?

Решение:

Для приёма радиосигнала приёмный колебательный контур должен быть настроен в резонанс с частотой электромагнитной волны. Длина волны $\lambda$, на которую настроен контур, связана с его индуктивностью $\text{L}$ и ёмкостью $\text{C}$ по формуле Томсона:

$\lambda = 2\pi c \sqrt{LC}$

Чтобы найти ёмкость конденсатора $\text{C}$, необходимо выразить её из этой формулы. Возведём обе части уравнения в квадрат:

$\lambda^2 = (2\pi c)^2 \cdot LC = 4\pi^2 c^2 LC$

Теперь выразим ёмкость $\text{C}$:

$C = \frac{\lambda^2}{4\pi^2 c^2 L}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$C = \frac{(1000 \text{ м})^2}{4\pi^2 (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 \cdot (1 \cdot 10^{-6} \text{ Гн})} = \frac{10^6}{4\pi^2 \cdot 9 \cdot 10^{16} \cdot 10^{-6}} = \frac{10^6}{36\pi^2 \cdot 10^{10}} \text{ Ф}$

Упростим выражение:

$C = \frac{1}{36\pi^2 \cdot 10^4} \text{ Ф}$

Выполним вычисления, используя $\pi \approx 3.14159$:

$C \approx \frac{1}{36 \cdot (3.14159)^2 \cdot 10^4} \approx \frac{1}{355.3 \cdot 10^4} \approx 2.814 \cdot 10^{-7} \text{ Ф}$

Это значение можно представить в более удобных единицах, например, в пикофарадах (пФ), где $1 \text{ пФ} = 10^{-12} \text{ Ф}$:

$C \approx 2.814 \cdot 10^{-7} \text{ Ф} = 281.4 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} \approx 281 \text{ пФ}$

Ответ: ёмкость конденсатора должна быть примерно $2.81 \cdot 10^{-7}$ Ф, или 281 пФ.