Номер 10.10, страница 200 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Тепловое излучение - номер 10.10, страница 200.

Условие.

10.10* Тело, нагретое до температуры $\text{T}$, излучает с единицы площади поверхности в единицу времени энергию, пропорциональную четвёртой степени температуры: $I = \varepsilon \sigma T^4$, где $\varepsilon < 1$ — степень черноты тела, $\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} \text{ Вт}/(\text{м}^2 \cdot \text{К}^4)$ — постоянная Стефана—Больцмана. Определите, какая энергия излучается с поверхности Солнца площадью 1 км$^2$ за 1 мин. Считать, что Солнце излучает как абсолютно чёрное тело ($\varepsilon = 1$) при температуре поверхности 5800 К.

Решение.

Дано:

Площадь поверхности $S = 1 \text{ км}^2$

Время $t = 1 \text{ мин}$

Температура поверхности Солнца $T = 5800 \text{ К}$

Степень черноты Солнца $\varepsilon = 1$

Постоянная Стефана–Больцмана $\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} \text{ Вт/(м}^2 \cdot \text{К}^4\text{)}$

Перевод в систему СИ:

$S = 1 \text{ км}^2 = 1 \cdot (10^3 \text{ м})^2 = 10^6 \text{ м}^2$

$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Найти:

Энергия, излучаемая с поверхности $\text{E}$.

Решение:

Закон Стефана-Больцмана описывает интенсивность излучения $\text{I}$ (энергию, излучаемую с единицы площади поверхности в единицу времени) абсолютно черного тела:

$I = \varepsilon\sigma T^4$

где $\varepsilon$ - степень черноты тела (для абсолютно чёрного тела $\varepsilon = 1$), $\sigma$ - постоянная Стефана–Больцмана, а $\text{T}$ - абсолютная температура тела.

Полная мощность излучения $\text{P}$ с поверхности площадью $\text{S}$ равна произведению интенсивности на площадь:

$P = I \cdot S = \varepsilon\sigma T^4 S$

Энергия $\text{E}$, излучаемая за время $\text{t}$, вычисляется как произведение мощности на время:

$E = P \cdot t = \varepsilon\sigma T^4 S t$

Подставим данные из условия задачи в систему СИ:

$E = 1 \cdot 5,67 \cdot 10^{-8} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4} \cdot (5800 \text{ К})^4 \cdot 10^6 \text{ м}^2 \cdot 60 \text{ с}$

Произведем вычисления:

$(5800)^4 = (5,8 \cdot 10^3)^4 = (5,8)^4 \cdot 10^{12} \approx 1131,65 \cdot 10^{12} \text{ К}^4 \approx 1,132 \cdot 10^{15} \text{ К}^4$

Теперь вычислим энергию $\text{E}$:

$E = 5,67 \cdot 10^{-8} \cdot (1,132 \cdot 10^{15}) \cdot 10^6 \cdot 60 \text{ Дж}$

$E = (5,67 \cdot 1,132 \cdot 60) \cdot 10^{-8 + 15 + 6} \text{ Дж}$

$E \approx 384,6 \cdot 10^{13} \text{ Дж}$

$E \approx 3,846 \cdot 10^{15} \text{ Дж}$

Округлим результат до трех значащих цифр, так как исходные данные (постоянная Стефана-Больцмана и температура) даны с такой точностью.

$E \approx 3,85 \cdot 10^{15} \text{ Дж}$

Ответ: $3,85 \cdot 10^{15} \text{ Дж}$.