Номер 10.11, страница 200 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Тепловое излучение - номер 10.11, страница 200.

Условие.

10.11*. Модель абсолютно чёрного тела изготовлена в виде равномерно нагретой полости с малым отверстием (рис. 10.2). Найдите температуру излучения внутри полости, если диаметр отверстия 1 см, а нагревание полости производится электрической спиралью мощностью 0,9 кВт.

Рис. 10.2

Решение.

Дано:

Диаметр отверстия, $d = 1 \text{ см}$

Мощность нагревательной спирали, $P = 0,9 \text{ кВт}$

Постоянная Стефана-Больцмана, $\sigma \approx 5,67 \cdot 10^{-8} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4}$

Перевод в систему СИ:

$d = 1 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$P = 0,9 \cdot 10^3 \text{ Вт} = 900 \text{ Вт}$

Найти:

Температуру излучения внутри полости, $\text{T}$

Решение:

Представленная модель является моделью абсолютно чёрного тела. В состоянии установившегося теплового равновесия мощность, подводимая к полости от электрической спирали, равна мощности теплового излучения, которое выходит через отверстие. Мощность излучения абсолютно чёрного тела описывается законом Стефана-Больцмана:

$P = \sigma S T^4$

где $\text{P}$ — мощность излучения, $\sigma$ — постоянная Стефана-Больцмана, $\text{S}$ — площадь излучающей поверхности, а $\text{T}$ — абсолютная температура тела.

В данной задаче излучающей поверхностью является отверстие, через которое выходит излучение. Площадь этого отверстия (круга) можно рассчитать по формуле:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставим это выражение для площади в закон Стефана-Больцмана:

$P = \sigma \left(\frac{\pi d^2}{4}\right) T^4$

Из этой формулы выразим искомую температуру $\text{T}$:

$T^4 = \frac{4P}{\sigma \pi d^2}$

$T = \sqrt[4]{\frac{4P}{\sigma \pi d^2}}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу, используя данные в системе СИ:

$T = \sqrt[4]{\frac{4 \cdot 900 \text{ Вт}}{5,67 \cdot 10^{-8} \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4} \cdot \pi \cdot (10^{-2} \text{ м})^2}}$

$T = \sqrt[4]{\frac{3600}{5,67 \cdot 10^{-8} \cdot 3,14159 \cdot 10^{-4}}} \text{ К}$

$T = \sqrt[4]{\frac{3600}{17,81 \cdot 10^{-12}}} \text{ К}$

$T = \sqrt[4]{202,1 \cdot 10^{12}} \text{ К}$

$T = \sqrt[4]{202,1} \cdot 10^3 \text{ К}$

$T \approx 3,77 \cdot 10^3 \text{ К} = 3770 \text{ К}$

Ответ: Температура излучения внутри полости составляет приблизительно $3770 \text{ К}$.