Номер 10.17, страница 201 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Тепловое излучение - номер 10.17, страница 201.

Условие.

10.17* При нагревании абсолютно чёрного тела длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения, изменилась от 0,69 до 0,5 мкм. Во сколько раз изменилась мощность суммарного излучения?

Решение.

Дано:

$\lambda_{max,1} = 0,69 \text{ мкм} = 0,69 \cdot 10^{-6} \text{ м}$
$\lambda_{max,2} = 0,5 \text{ мкм} = 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Найти:

$\frac{P_2}{P_1}$

Решение:

Мощность суммарного излучения абсолютно чёрного тела $\text{P}$ определяется законом Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения с единицы площади поверхности пропорциональна четвёртой степени абсолютной температуры тела $\text{T}$. Для тела с площадью поверхности $\text{S}$ мощность излучения равна:

$P = \sigma S T^4$

где $\sigma$ — постоянная Стефана-Больцмана.

Для начального и конечного состояний тела можем записать:

$P_1 = \sigma S T_1^4$

$P_2 = \sigma S T_2^4$

Отношение мощностей излучения в конечном и начальном состояниях равно:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{\sigma S T_2^4}{\sigma S T_1^4} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$

Связь между абсолютной температурой тела и длиной волны, на которую приходится максимум энергии излучения, устанавливается законом смещения Вина:

$\lambda_{max} T = b$

где $\text{b}$ — постоянная Вина. Отсюда можно выразить температуру через длину волны:

$T = \frac{b}{\lambda_{max}}$

Тогда отношение температур будет обратно пропорционально отношению длин волн:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{b/\lambda_{max,2}}{b/\lambda_{max,1}} = \frac{\lambda_{max,1}}{\lambda_{max,2}}$

Подставим это выражение в формулу для отношения мощностей:

$\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{\lambda_{max,1}}{\lambda_{max,2}}\right)^4$

Теперь можем подставить числовые значения из условия задачи:

$\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{0,69 \text{ мкм}}{0,5 \text{ мкм}}\right)^4 = \left(\frac{0,69}{0,5}\right)^4 = (1,38)^4 \approx 3,63$

Ответ: мощность суммарного излучения увеличилась в 3,63 раза.