Номер 10.22, страница 201 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Фотон. Волновые свойства частиц - номер 10.22, страница 201.

Условие.

10.22. Найдите частоту и длину волны излучения, энергия фотонов которого равна энергии покоя электрона.

Решение.

Дано:

Энергия фотона излучения равна энергии покоя электрона: $E_ф = E_0$.

Масса покоя электрона, $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг.

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.

Постоянная Планка, $h \approx 6.63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с.

Найти:

Частоту излучения, $ν$ - ?

Длину волны излучения, $λ$ - ?

Решение:

Энергия фотона ($E_ф$) определяется формулой Планка, а энергия покоя электрона ($E_0$) — формулой Эйнштейна.

1. Энергия фотона: $E_ф = hν$, где $\text{h}$ — постоянная Планка, а $ν$ — частота излучения.

2. Энергия покоя электрона: $E_0 = m_e c^2$, где $m_e$ — масса покоя электрона, а $\text{c}$ — скорость света в вакууме.

Согласно условию задачи, эти энергии равны:

$E_ф = E_0$

Приравнивая выражения для энергий, получаем:

$hν = m_e c^2$

Из этого уравнения выражаем и находим искомую частоту излучения $ν$:

$ν = \frac{m_e c^2}{h}$

Подставляем числовые значения констант:

$ν = \frac{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}{6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с}} = \frac{9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 9 \cdot 10^{16}}{6.63 \cdot 10^{-34}} \text{ Гц} \approx 1.237 \cdot 10^{20} \text{ Гц}$

Далее найдем длину волны $λ$. Длина волны связана с частотой $ν$ и скоростью света $\text{c}$ следующим соотношением:

$c = λν$

Отсюда выражаем длину волны:

$λ = \frac{c}{ν}$

Подставляем ранее вычисленное значение частоты и значение скорости света:

$λ = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1.237 \cdot 10^{20} \text{ Гц}} \approx 2.425 \cdot 10^{-12} \text{ м}$

Длину волны также можно найти, не вычисляя предварительно частоту. Для этого в формуле энергии фотона $E_ф = hν$ заменим частоту через длину волны $ν = c/λ$:

$E_ф = \frac{hc}{λ}$

Теперь приравняем это выражение к энергии покоя электрона:

$\frac{hc}{λ} = m_e c^2$

Сократив на $\text{c}$, выразим длину волны:

$λ = \frac{h}{m_e c}$

Эта величина называется комптоновской длиной волны электрона. Вычислим ее значение:

$λ = \frac{6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с}}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} \approx 2.426 \cdot 10^{-12} \text{ м}$

Результаты, полученные двумя способами, практически совпадают (небольшое расхождение объясняется округлением промежуточных вычислений).

Ответ:

Частота излучения $ν \approx 1.24 \cdot 10^{20}$ Гц, длина волны $λ \approx 2.43 \cdot 10^{-12}$ м (или 2.43 пм).