Номер 11.160, страница 228 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Деление ядер урана. Ядерный реактор - номер 11.160, страница 228.

Условие.

11.160*. При делении ядра урана $ ^{235}_{92}\text{U} $ освобождается энергия 200 МэВ, причём 84% этой энергии приобретают осколки деления. Считая, что этими осколками являются ядра бария $ ^{142}_{56}\text{Ba} $ и криптона $ ^{91}_{36}\text{Kr} $ и что импульсы их по модулю одинаковые, найдите энергию осколков.

Решение.

Дано:

Общая энергия, освобождающаяся при делении ядра урана $^{235}_{92}\text{U}$: $E_{общ} = 200 \text{ МэВ}$

Доля энергии, которую приобретают осколки деления: $k = 84\% = 0.84$

Осколки деления: ядро бария $^{142}_{56}\text{Ba}$ и ядро криптона $^{91}_{36}\text{Kr}$

Массовое число ядра бария: $A_{Ba} = 142$

Массовое число ядра криптона: $A_{Kr} = 91$

Модули импульсов осколков одинаковы: $p_{Ba} = p_{Kr}$

Перевод в систему СИ:

$E_{общ} = 200 \text{ МэВ} = 200 \cdot 1.602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} \approx 3.204 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}$

Найти:

$E_{Ba}$ — ?

$E_{Kr}$ — ?

Решение:

1. Найдем суммарную кинетическую энергию $E_к$, которую приобретают осколки деления. Она составляет 84% от общей выделившейся энергии:

$E_к = k \cdot E_{общ} = 0.84 \cdot 200 \text{ МэВ} = 168 \text{ МэВ}$

Эта энергия распределяется между двумя осколками — ядром бария и ядром криптона:

$E_к = E_{Ba} + E_{Kr}$

2. Изначально ядро урана покоилось, его импульс был равен нулю. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс осколков после деления также должен быть равен нулю:

$\vec{p}_{Ba} + \vec{p}_{Kr} = 0$

Отсюда следует, что векторы импульсов осколков направлены в противоположные стороны, а их модули равны, что и указано в условии задачи:

$p_{Ba} = p_{Kr} = p$

3. Связь между кинетической энергией $\text{E}$ частицы, ее массой $\text{m}$ и импульсом $\text{p}$ выражается формулой:

$E = \frac{p^2}{2m}$

Применим эту формулу для каждого из осколков:

$E_{Ba} = \frac{p^2}{2m_{Ba}}$

$E_{Kr} = \frac{p^2}{2m_{Kr}}$

4. Найдем отношение энергий осколков. Для этого разделим выражение для $E_{Ba}$ на выражение для $E_{Kr}$:

$\frac{E_{Ba}}{E_{Kr}} = \frac{p^2 / (2m_{Ba})}{p^2 / (2m_{Kr})} = \frac{m_{Kr}}{m_{Ba}}$

Массы ядер можно считать пропорциональными их массовым числам ($\text{A}$):

$\frac{E_{Ba}}{E_{Kr}} \approx \frac{A_{Kr}}{A_{Ba}} = \frac{91}{142}$

5. Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($E_{Ba}$ и $E_{Kr}$):

$E_{Ba} + E_{Kr} = 168 \text{ МэВ}$

$E_{Ba} = \frac{91}{142} E_{Kr}$

Подставим второе уравнение в первое:

$\frac{91}{142} E_{Kr} + E_{Kr} = 168$

$E_{Kr} \left( \frac{91}{142} + 1 \right) = 168$

$E_{Kr} \left( \frac{91 + 142}{142} \right) = 168$

$E_{Kr} \left( \frac{233}{142} \right) = 168$

Выразим и вычислим энергию ядра криптона:

$E_{Kr} = 168 \cdot \frac{142}{233} \approx 102.4 \text{ МэВ}$

Теперь найдем энергию ядра бария:

$E_{Ba} = 168 - E_{Kr} \approx 168 - 102.4 = 65.6 \text{ МэВ}$

Ответ:

Энергия ядра бария $E_{Ba} \approx 65.6 \text{ МэВ}$, энергия ядра криптона $E_{Kr} \approx 102.4 \text{ МэВ}$.