Номер 11.163, страница 228 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Деление ядер урана. Ядерный реактор - номер 11.163, страница 228.

Условие.

11.163. Для получения медленных нейтронов их пропускают сквозь вещества, содержащие водород (например, парафин). Найдите, какую часть своей кинетической энергии нейтрон массой $\text{m}$ может передать при упругом центральном ударе:

а) протону (масса $\text{m}$);

б) ядру атома свинца (масса $207m$).

Решение.

Дано:

Масса нейтрона: $m_1 = m$

Начальная скорость нейтрона: $v_1$

Масса частицы-мишени: $m_2$

Начальная скорость частицы-мишени: $v_2 = 0$

а) Масса протона: $m_{2a} = m$

б) Масса ядра свинца: $m_{2b} = 207m$

Столкновение упругое, центральное.

Найти:

$\eta$ - часть кинетической энергии, переданная нейтроном частице-мишени.

Решение:

Рассмотрим абсолютно упругое центральное столкновение налетающей частицы (нейтрона) массой $m_1$ с начальной скоростью $v_1$ и покоящейся частицы-мишени массой $m_2$. При таком столкновении выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Закон сохранения импульса в проекции на ось, вдоль которой происходит движение:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2$

Поскольку частица-мишень покоится ($v_2 = 0$):

$m_1 v_1 = m_1 u_1 + m_2 u_2 \quad (1)$

Закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2}$

С учетом $v_2 = 0$:

$m_1 v_1^2 = m_1 u_1^2 + m_2 u_2^2 \quad (2)$

Здесь $u_1$ и $u_2$ – скорости нейтрона и частицы-мишени после столкновения соответственно.

Из уравнений (1) и (2) выразим скорость $u_2$ частицы-мишени. Преобразуем уравнения:

$m_1 (v_1 - u_1) = m_2 u_2$

$m_1 (v_1^2 - u_1^2) = m_2 u_2^2 \Rightarrow m_1 (v_1 - u_1)(v_1 + u_1) = m_2 u_2^2$

Разделив второе преобразованное уравнение на первое, получим:

$v_1 + u_1 = u_2$

Выразим $u_1$ и подставим в уравнение (1):

$u_1 = u_2 - v_1$

$m_1 v_1 = m_1 (u_2 - v_1) + m_2 u_2$

$m_1 v_1 = m_1 u_2 - m_1 v_1 + m_2 u_2$

$2 m_1 v_1 = (m_1 + m_2) u_2$

Отсюда скорость частицы-мишени после столкновения:

$u_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1$

Начальная кинетическая энергия нейтрона: $K_i = \frac{m_1 v_1^2}{2}$.

Кинетическая энергия, переданная частице-мишени: $K_{пер} = \frac{m_2 u_2^2}{2}$.

Искомая часть переданной энергии $\eta$ равна отношению этих энергий:

$\eta = \frac{K_{пер}}{K_i} = \frac{\frac{m_2 u_2^2}{2}}{\frac{m_1 v_1^2}{2}} = \frac{m_2}{m_1} \left( \frac{u_2}{v_1} \right)^2$

Подставим выражение для $u_2$:

$\eta = \frac{m_2}{m_1} \left( \frac{2m_1}{m_1 + m_2} \right)^2 = \frac{m_2}{m_1} \frac{4m_1^2}{(m_1 + m_2)^2} = \frac{4m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^2}$

Это общая формула для доли переданной кинетической энергии при упругом центральном ударе о покоящуюся мишень. Применим ее к условиям задачи.

а) столкновение с протоном

В этом случае масса нейтрона $m_1 = m$, масса протона $m_2 = m$.

$\eta_a = \frac{4m \cdot m}{(m + m)^2} = \frac{4m^2}{(2m)^2} = \frac{4m^2}{4m^2} = 1$

При столкновении с протоном, масса которого практически равна массе нейтрона, нейтрон передает ему всю свою кинетическую энергию.

Ответ: 1 (или 100%).

б) столкновение с ядром атома свинца

В этом случае масса нейтрона $m_1 = m$, масса ядра свинца $m_2 = 207m$.

$\eta_b = \frac{4m \cdot (207m)}{(m + 207m)^2} = \frac{828m^2}{(208m)^2} = \frac{828m^2}{43264m^2} = \frac{828}{43264}$

Сократим дробь на 4:

$\eta_b = \frac{207}{10816} \approx 0.01914$

При столкновении с тяжелым ядром свинца нейтрон передает ему очень малую часть своей энергии, примерно 1.9%. Это объясняет, почему для замедления нейтронов используются материалы, содержащие легкие ядра (например, водород), а не тяжелые.

Ответ: $\frac{207}{10816} \approx 0.019$ (или 1.9%).