Номер 11.165, страница 228 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Деление ядер урана. Ядерный реактор - номер 11.165, страница 228.

Условие.

11.165* Нейтрон, обладающий энергией в 4,6 МэВ, в результате столкновений с протонами замедляется. Считая, что нейтрон отклоняется при каждом столкновении в среднем на 45°, найдите, сколько столкновений он должен испытать, чтобы его энергия уменьшилась до 0,23 эВ.

Решение.

Дано:
Начальная кинетическая энергия нейтрона $E_0 = 4,6 \text{ МэВ}$
Конечная кинетическая энергия нейтрона $E_f = 0,23 \text{ эВ}$
Средний угол отклонения нейтрона при столкновении $\theta = 45^\circ$
Столкновения происходят с покоящимися протонами, $m_n \approx m_p$

$E_0 = 4,6 \text{ МэВ} = 4,6 \times 10^6 \text{ эВ}$
$E_f = 0,23 \text{ эВ}$

Найти:
Число столкновений $\text{N}$.

Решение:

Рассмотрим одно упругое столкновение нейтрона с покоящимся протоном. Поскольку массы нейтрона ($m_n$) и протона ($m_p$) приблизительно равны ($m_n \approx m_p = m$), мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии для этого случая.

Закон сохранения импульса: $m\vec{v}_0 = m\vec{v}_1 + m\vec{v}_p$, где $\vec{v}_0$ и $\vec{v}_1$ — скорости нейтрона до и после столкновения, а $\vec{v}_p$ — скорость протона после столкновения. Отсюда $\vec{v}_0 = \vec{v}_1 + \vec{v}_p$.

Закон сохранения кинетической энергии: $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_p^2$, откуда $v_0^2 = v_1^2 + v_p^2$.

Из закона сохранения импульса $\vec{v}_p = \vec{v}_0 - \vec{v}_1$. Возведя это выражение в квадрат скалярно, получим: $v_p^2 = (\vec{v}_0 - \vec{v}_1) \cdot (\vec{v}_0 - \vec{v}_1) = v_0^2 + v_1^2 - 2\vec{v}_0 \cdot \vec{v}_1 = v_0^2 + v_1^2 - 2v_0 v_1 \cos\theta$, где $\theta$ — угол рассеяния нейтрона.

Подставим выражение для $v_p^2$ в закон сохранения энергии: $v_0^2 = v_1^2 + (v_0^2 + v_1^2 - 2v_0 v_1 \cos\theta)$ $0 = 2v_1^2 - 2v_0 v_1 \cos\theta$ $v_1 = v_0 \cos\theta$ (поскольку $v_1 \neq 0$).

Отношение кинетической энергии нейтрона после столкновения ($E_1$) к его энергии до столкновения ($E_0$) равно: $\frac{E_1}{E_0} = \frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_0^2} = \left(\frac{v_1}{v_0}\right)^2 = \cos^2\theta$.

По условию задачи, средний угол отклонения $\theta = 45^\circ$. Тогда коэффициент уменьшения энергии за одно столкновение равен: $k = \cos^2(45^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$.

После $\text{N}$ столкновений энергия нейтрона $E_N$ станет равной: $E_N = E_0 \cdot k^N = E_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^N$.

Нам нужно найти $\text{N}$, при котором энергия уменьшится до $E_f$. $E_f \le E_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^N$. $\frac{E_f}{E_0} \le \left(\frac{1}{2}\right)^N$.

Вычислим отношение энергий: $\frac{E_f}{E_0} = \frac{0,23 \text{ эВ}}{4,6 \times 10^6 \text{ эВ}} = \frac{0,23}{4,6} \times 10^{-6} = 0,05 \times 10^{-6} = 5 \times 10^{-8}$.

Теперь решаем неравенство: $5 \times 10^{-8} \le \left(\frac{1}{2}\right)^N$. Прологарифмируем обе части неравенства (например, по натуральному основанию): $\ln(5 \times 10^{-8}) \le N \ln\left(\frac{1}{2}\right)$. $\ln(5 \times 10^{-8}) \le -N \ln(2)$.

При делении на отрицательное число $-\ln(2)$ знак неравенства меняется: $N \ge -\frac{\ln(5 \times 10^{-8})}{\ln(2)} = -\frac{\ln(5) - 8\ln(10)}{\ln(2)}$.

Используя значения логарифмов $\ln(2) \approx 0,693$, $\ln(5) \approx 1,609$, $\ln(10) \approx 2,303$: $N \ge -\frac{1,609 - 8 \times 2,303}{0,693} = -\frac{1,609 - 18,424}{0,693} = -\frac{-16,815}{0,693} \approx 24,26$.

Поскольку число столкновений $\text{N}$ должно быть целым, а энергия после $\text{N}$ столкновений должна быть не больше, чем $E_f$, необходимо округлить полученное значение в большую сторону до ближайшего целого числа. $N = 25$.

Ответ: нейтрон должен испытать 25 столкновений.