Номер 11.29, страница 215 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Модель атома Резерфорда — Бора - номер 11.29, страница 215.

Условие.

11.29. Значения энергии атома водорода в стационарных состояниях определяются выражением $E_n = -\frac{13,6}{n^2}$ эВ, $n = 1, 2, 3, \ldots$. Найдите отношение минимальной частоты фотона в серии Бальмера (переход осуществляется между вторым энергетическим уровнем и всеми вышележащими уровнями) к максимальной частоте в серии Пашена (переход осуществляется между третьим энергетическим уровнем и всеми вышележащими уровнями).

Решение.

Дано:

Энергия атома водорода в стационарных состояниях определяется формулой:

$E_n = -\frac{13,6}{n^2}$ эВ, где $n = 1, 2, 3, \ldots$

Серия Бальмера: переходы на второй энергетический уровень ($n=2$) с вышележащих уровней ($n' > 2$).

Серия Пашена: переходы на третий энергетический уровень ($n=3$) с вышележащих уровней ($n' > 3$).

Найти:

Отношение минимальной частоты фотона в серии Бальмера к максимальной частоте в серии Пашена: $\frac{\nu_{Б,мин}}{\nu_{П,макс}}$.

Решение:

Согласно постулатам Бора, при переходе электрона с более высокого энергетического уровня $E_{n'}$ на более низкий уровень $E_n$ излучается фотон. Энергия этого фотона $\Delta E$ равна разности энергий уровней и связана с частотой $\nu$ формулой Планка:

$\Delta E = h\nu = E_{n'} - E_n$

где $\text{h}$ — постоянная Планка.

Подставим выражение для энергии уровней в эту формулу:

$h\nu = (-\frac{13,6}{n'^2}) - (-\frac{13,6}{n^2}) = 13,6 \cdot (\frac{1}{n^2} - \frac{1}{n'^2})$

Для удобства обозначим $E_0 = 13,6$ эВ.

$h\nu = E_0 (\frac{1}{n^2} - \frac{1}{n'^2})$

1. Минимальная частота в серии Бальмера ($\nu_{Б,мин}$).

В серии Бальмера переходы осуществляются на уровень $n=2$ с вышележащих уровней $n' = 3, 4, 5, \ldots$.

$h\nu_Б = E_0 (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n'^2})$, где $n' > 2$.

Частота будет минимальной, когда разность энергий минимальна. Это соответствует переходу с ближайшего вышележащего уровня, то есть при наименьшем возможном значении $n'$. Для серии Бальмера это $n' = 3$.

$h\nu_{Б,мин} = E_0 (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = E_0 (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = E_0 (\frac{9-4}{36}) = E_0 \frac{5}{36}$

2. Максимальная частота в серии Пашена ($\nu_{П,макс}$).

В серии Пашена переходы осуществляются на уровень $n=3$ с вышележащих уровней $n' = 4, 5, 6, \ldots$.

$h\nu_П = E_0 (\frac{1}{3^2} - \frac{1}{n'^2})$, где $n' > 3$.

Частота будет максимальной, когда разность энергий максимальна. Это соответствует переходу с наиболее удаленного уровня, то есть при $n' \to \infty$. В этом случае слагаемое $\frac{1}{n'^2}$ стремится к нулю.

$h\nu_{П,макс} = E_0 (\frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2}) = E_0 (\frac{1}{9} - 0) = E_0 \frac{1}{9}$

3. Отношение частот.

Теперь найдем искомое отношение $\frac{\nu_{Б,мин}}{\nu_{П,макс}}$. Для этого разделим энергию, соответствующую минимальной частоте в серии Бальмера, на энергию, соответствующую максимальной частоте в серии Пашена:

$\frac{\nu_{Б,мин}}{\nu_{П,макс}} = \frac{h\nu_{Б,мин}}{h\nu_{П,макс}} = \frac{E_0 \frac{5}{36}}{E_0 \frac{1}{9}}$

Константы $E_0$ сокращаются:

$\frac{\nu_{Б,мин}}{\nu_{П,макс}} = \frac{5/36}{1/9} = \frac{5}{36} \cdot \frac{9}{1} = \frac{5 \cdot 9}{36} = \frac{45}{36}$

Сократим полученную дробь на 9:

$\frac{45}{36} = \frac{5}{4} = 1,25$

Ответ: 1,25.