Номер 11.27, страница 214 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Модель атома Резерфорда — Бора - номер 11.27, страница 214.

Условие.

11.27*. Под действием электронов с кинетической энергией 1,892 эВ водород светится. Определите длину волны излучения. Какого цвета линия получена в спектре?

Решение.

Дано:

Кинетическая энергия электронов $E_{kin} = 1.892$ эВ.

Постоянные величины:

Заряд электрона $e = 1.602 \cdot 10^{-19}$ Кл.

Постоянная Планка $h = 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с.

Скорость света в вакууме $c = 3 \cdot 10^8$ м/с.

Энергия ионизации атома водорода $E_0 = 13.6$ эВ.

Перевод в систему СИ:

$E_{kin} = 1.892 \text{ эВ} \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \frac{\text{Дж}}{\text{эВ}} \approx 3.031 \cdot 10^{-19}$ Дж.

Найти:

Длину волны излучения $\lambda$ - ?

Цвет линии в спектре - ?

Решение:

Свечение водорода обусловлено излучением фотонов при переходе электронов в атомах с более высоких энергетических уровней на более низкие. Чтобы это произошло, атом сначала должен быть возбужден, то есть электрон должен получить энергию и перейти на более высокий уровень.

Энергетические уровни атома водорода описываются формулой Бора:

$E_n = -\frac{E_0}{n^2}$, где $n = 1, 2, 3, ...$ - главное квантовое число.

Предположим, что атомы водорода находятся в основном состоянии ($n=1$). Энергия, необходимая для перевода электрона на первый возбужденный уровень ($n=2$), равна:

$\Delta E_{1\to2} = E_2 - E_1 = (-\frac{13.6 \text{ эВ}}{2^2}) - (-\frac{13.6 \text{ эВ}}{1^2}) = 13.6 \cdot (1 - \frac{1}{4}) = 10.2$ эВ.

Кинетическая энергия налетающих электронов ($E_{kin} = 1.892$ эВ) значительно меньше, чем $\Delta E_{1\to2}$. Следовательно, электроны с такой энергией не могут возбудить атом водорода из основного состояния.

Это означает, что атомы водорода уже находились в возбужденном состоянии, например, в первом возбужденном состоянии ($n=2$). Проверим, достаточно ли энергии электронов для перехода со второго уровня ($n=2$) на третий ($n=3$):

$\Delta E_{2\to3} = E_3 - E_2 = (-\frac{13.6 \text{ эВ}}{3^2}) - (-\frac{13.6 \text{ эВ}}{2^2}) = 13.6 \cdot (\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = 13.6 \cdot \frac{5}{36} \approx 1.889$ эВ.

Эта величина очень близка к энергии бомбардирующих электронов ($1.892$ эВ). Таким образом, можно заключить, что электроны передают свою энергию атомам водорода, находящимся на втором энергетическом уровне, и переводят их на третий уровень.

Когда возбужденный атом возвращается в более стабильное состояние, он излучает фотон. Видимое свечение (серия Бальмера) возникает при переходах на второй уровень ($n=2$). В нашем случае произойдет переход с третьего уровня на второй ($3 \to 2$). Энергия излучённого фотона будет равна энергии, поглощенной при возбуждении:

$E_{photon} = \Delta E_{3\to2} \approx 1.892$ эВ.

Длину волны этого фотона найдем по формуле:

$E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$

Отсюда, $\lambda = \frac{hc}{E_{photon}}$.

Выполним расчет:

$\lambda = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{3.031 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}} \approx 6.558 \cdot 10^{-7}$ м.

Переведем в нанометры: $\lambda \approx 656$ нм.

Длина волны 656 нм соответствует красной части видимого спектра. Эта линия является первой линией серии Бальмера и обозначается как $H_\alpha$.

Ответ: Длина волны излучения составляет примерно 656 нм. Линия в спектре имеет красный цвет.