Номер 11.21, страница 214 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Модель атома Резерфорда — Бора - номер 11.21, страница 214.

Условие.

11.21. Какую минимальную скорость должен иметь электрон, чтобы при соударении с атомом водорода перевести его из основного в пятое возбуждённое состояние?

Решение.

Дано:

Атом водорода в основном состоянии: $n_1 = 1$.
Конечное состояние атома — пятое возбужденное, что соответствует главному квантовому числу $n_2 = 1 + 5 = 6$.
Энергия ионизации атома водорода: $E_0 = 13.6 \text{ эВ}$.
Масса электрона: $m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}$.
Элементарный заряд: $e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}$ (для перевода эВ в Дж, $1 \text{ эВ} = 1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж}$).

Найти:

Минимальную скорость электрона $v_{min}$.

Решение

Для того чтобы при соударении перевести атом водорода из основного состояния в возбужденное, электрон должен передать атому энергию $\Delta E$, равную разности энергий этих состояний. Минимальная скорость электрона соответствует случаю, когда вся его начальная кинетическая энергия $K_{min}$ идет на возбуждение атома. В этом случае мы пренебрегаем кинетической энергией атома водорода после столкновения, так как его масса значительно больше массы электрона.

Энергетические уровни атома водорода описываются формулой Бора:

$E_n = -\frac{E_0}{n^2}$

где $E_0 \approx 13.6 \text{ эВ}$ — энергия ионизации (постоянная Ридберга в единицах энергии), а $\text{n}$ — главное квантовое число.

Найдем энергию, необходимую для перехода с уровня $n_1=1$ на уровень $n_2=6$:

$\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = (-\frac{E_0}{n_2^2}) - (-\frac{E_0}{n_1^2}) = E_0 (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$

Подставим числовые значения:

$\Delta E = 13.6 \text{ эВ} \times (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{6^2}) = 13.6 \times (1 - \frac{1}{36}) = 13.6 \times \frac{35}{36} \approx 13.222 \text{ эВ}$

Минимальная кинетическая энергия электрона должна быть равна этой величине:

$K_{min} = \frac{m_e v_{min}^2}{2} = \Delta E$

Отсюда можно выразить минимальную скорость электрона:

$v_{min} = \sqrt{\frac{2 \Delta E}{m_e}}$

Прежде чем выполнять расчет, переведем энергию возбуждения $\Delta E$ в систему СИ (джоули):

$\Delta E \approx 13.222 \text{ эВ} \times 1.602 \times 10^{-19} \frac{\text{Дж}}{\text{эВ}} \approx 2.118 \times 10^{-18} \text{ Дж}$

Теперь подставим все значения в формулу для скорости:

$v_{min} = \sqrt{\frac{2 \times 2.118 \times 10^{-18} \text{ Дж}}{9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}}} \approx \sqrt{4.65 \times 10^{12} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx 2.156 \times 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округлив до трех значащих цифр, получаем $2.16 \times 10^6 \text{ м/с}$.

Ответ: минимальная скорость, которую должен иметь электрон, составляет примерно $2.16 \times 10^6 \text{ м/с}$.