Номер 11.15, страница 213 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Модель атома Резерфорда — Бора - номер 11.15, страница 213.

Условие.

11.15*. На рисунке 11.6 изображены энергетические уровни некоторого атома. Экспериментально установлено, что минимальная длина волны для фотонов, излучаемых при переходах между этими уровнями, равна 250 нм. При переходе 3 поглощается фотон с длиной волны 545 нм, а при переходе 7 — фотон с длиной волны 400 нм. Найдите:

а) длину волны фотона, излучаемого при переходе 2;

б) энергию фотона, поглощённого при переходе 9;

в) импульс фотона, поглощённого при переходе 6.

Рис. 11.6

Решение.

Дано:

Минимальная длина волны излучаемых фотонов, $\lambda_{min} = 250$ нм

Длина волны фотона, поглощаемого при переходе 3, $\lambda_3 = 545$ нм

Длина волны фотона, поглощаемого при переходе 7, $\lambda_7 = 400$ нм

Постоянная Планка, $h \approx 6.63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

$\lambda_{min} = 250 \cdot 10^{-9}$ м

$\lambda_3 = 545 \cdot 10^{-9}$ м

$\lambda_7 = 400 \cdot 10^{-9}$ м

Найти:

а) $\lambda_2$ - длину волны фотона, излучаемого при переходе 2

б) $E_9$ - энергию фотона, поглощённого при переходе 9

в) $p_6$ - импульс фотона, поглощённого при переходе 6

Решение:

Энергия фотона, излучаемого или поглощаемого при переходе атома между двумя энергетическими уровнями, равна разности энергий этих уровней: $\Delta E = |E_n - E_m| = \frac{hc}{\lambda}$. Минимальная длина волны $\lambda_{min}$ соответствует переходу с максимальной разностью энергий. Судя по схеме, это переход с самого высокого уровня $E_4$ на самый низкий $E_1$ (переход 8). Таким образом, $E_4 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_{min}}$.

Энергии для других переходов из условия:

Переход 3 (поглощение $E_2 \rightarrow E_3$): $E_3 - E_2 = \frac{hc}{\lambda_3}$

Переход 7 (поглощение $E_2 \rightarrow E_4$): $E_4 - E_2 = \frac{hc}{\lambda_7}$

а) Переход 2 - это излучение фотона при переходе атома с уровня $E_2$ на уровень $E_1$. Энергия этого фотона равна $E_2 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_2}$. Разность энергий между уровнями можно представить как сумму разностей энергий промежуточных переходов. Для уровней $E_1, E_2, E_4$ справедливо равенство: $E_4 - E_1 = (E_4 - E_2) + (E_2 - E_1)$. Подставим в это равенство выражения для энергий через длины волн:$\frac{hc}{\lambda_{min}} = \frac{hc}{\lambda_7} + \frac{hc}{\lambda_2}$.Сократив на $\text{hc}$, получим:$\frac{1}{\lambda_{min}} = \frac{1}{\lambda_7} + \frac{1}{\lambda_2}$.Отсюда выразим искомую длину волны $\lambda_2$:$\frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_{min}} - \frac{1}{\lambda_7} = \frac{\lambda_7 - \lambda_{min}}{\lambda_{min}\lambda_7}$.$\lambda_2 = \frac{\lambda_{min}\lambda_7}{\lambda_7 - \lambda_{min}}$.Подставим числовые значения:$\lambda_2 = \frac{250 \text{ нм} \cdot 400 \text{ нм}}{400 \text{ нм} - 250 \text{ нм}} = \frac{100000 \text{ нм}^2}{150 \text{ нм}} \approx 667$ нм.
Ответ: длина волны фотона, излучаемого при переходе 2, составляет примерно $667$ нм.

б) Переход 9 - это поглощение фотона при переходе атома с уровня $E_3$ на уровень $E_4$. Энергия этого фотона $E_9 = E_4 - E_3$. Для уровней $E_2, E_3, E_4$ справедливо равенство: $E_4 - E_2 = (E_4 - E_3) + (E_3 - E_2)$. Выразим отсюда искомую энергию $E_9$:$E_9 = E_4 - E_3 = (E_4 - E_2) - (E_3 - E_2)$.Подставим выражения для энергий через длины волн:$E_9 = \frac{hc}{\lambda_7} - \frac{hc}{\lambda_3} = hc \left( \frac{1}{\lambda_7} - \frac{1}{\lambda_3} \right)$.Подставим числовые значения в системе СИ:$E_9 = 6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \left( \frac{1}{400 \cdot 10^{-9} \text{ м}} - \frac{1}{545 \cdot 10^{-9} \text{ м}} \right) = 1.989 \cdot 10^{-25} \left( \frac{1}{400} - \frac{1}{545} \right) \cdot 10^9 \text{ Дж} = 1.989 \cdot 10^{-16} \left( \frac{545 - 400}{400 \cdot 545} \right) \text{ Дж} = 1.989 \cdot 10^{-16} \frac{145}{218000} \text{ Дж} \approx 1.32 \cdot 10^{-19}$ Дж.
Ответ: энергия фотона, поглощённого при переходе 9, равна примерно $1.32 \cdot 10^{-19}$ Дж.

в) Переход 6 - это поглощение фотона при переходе атома с уровня $E_1$ на уровень $E_3$. Импульс этого фотона определяется формулой $p_6 = \frac{h}{\lambda_6}$, где $\lambda_6$ - соответствующая длина волны. Сначала найдем $\lambda_6$. Энергия фотона при переходе 6 равна $E_3 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_6}$. Для уровней $E_1, E_2, E_3$ справедливо равенство: $E_3 - E_1 = (E_3 - E_2) + (E_2 - E_1)$. Подставим выражения для энергий:$\frac{hc}{\lambda_6} = \frac{hc}{\lambda_3} + \frac{hc}{\lambda_2}$.Сократим на $\text{hc}$:$\frac{1}{\lambda_6} = \frac{1}{\lambda_3} + \frac{1}{\lambda_2}$.Используем значение $\lambda_2 \approx 667$ нм, найденное в пункте а). Для большей точности используем его дробное значение $\lambda_2 = \frac{2000}{3}$ нм.$\frac{1}{\lambda_6} = \frac{1}{545 \text{ нм}} + \frac{1}{2000/3 \text{ нм}} = \frac{1}{545} + \frac{3}{2000} = \frac{2000 + 3 \cdot 545}{545 \cdot 2000} = \frac{2000 + 1635}{1090000} = \frac{3635}{1090000}$ нм$^{-1}$.$\lambda_6 = \frac{1090000}{3635} \approx 299.86$ нм $\approx 3.00 \cdot 10^{-7}$ м.Теперь можем рассчитать импульс фотона:$p_6 = \frac{h}{\lambda_6} = \frac{6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с}}{3.00 \cdot 10^{-7} \text{ м}} \approx 2.21 \cdot 10^{-27}$ кг·м/с.
Ответ: импульс фотона, поглощённого при переходе 6, равен примерно $2.21 \cdot 10^{-27}$ кг·м/с.