Номер 11.8, страница 212 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Модель атома Резерфорда — Бора - номер 11.8, страница 212.

Условие.

11.8*. Получите формулу для расчёта длин волн в спектре излучения атома водорода (формулу Ридберга¹) при переходе из возбуждённого состояния с номером m в состояние с номером n.

Решение.

Решение

Согласно второму постулату Бора, при переходе электрона в атоме водорода с более высокого энергетического уровня $E_m$ на более низкий уровень $E_n$, атом излучает фотон. Энергия этого фотона $\Delta E$ равна разности энергий этих уровней:

$\Delta E = E_m - E_n$

где $\text{m}$ и $\text{n}$ – главные квантовые числа, причём для излучения фотона электрон должен переходить на более низкий уровень, поэтому $m > n$.

Энергия излученного фотона связана с длиной волны $\lambda$ этого излучения через формулу Планка:

$\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$

где $\text{h}$ – постоянная Планка, а $\text{c}$ – скорость света в вакууме.

Приравнивая два выражения для энергии, получаем:

$\frac{hc}{\lambda} = E_m - E_n$

Энергия электрона на $\text{k}$-м стационарном уровне в атоме водорода (согласно модели Бора) определяется формулой:

$E_k = - \frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2} \frac{1}{k^2}$

где $m_e$ – масса электрона, $\text{e}$ – элементарный заряд, $\varepsilon_0$ – электрическая постоянная.

Подставим выражения для энергий $E_m$ и $E_n$ в наше уравнение:

$\frac{hc}{\lambda} = \left(- \frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2} \frac{1}{m^2}\right) - \left(- \frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2} \frac{1}{n^2}\right)$

Вынесем общий множитель за скобки:

$\frac{hc}{\lambda} = \frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2} \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right)$

Чтобы получить формулу для длины волны, выразим из этого уравнения величину $1/\lambda$ (волновое число):

$\frac{1}{\lambda} = \frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c} \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right)$

Коэффициент перед скобками представляет собой комбинацию фундаментальных физических констант и называется постоянной Ридберга $\text{R}$:

$R = \frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c}$

Численное значение постоянной Ридберга составляет приблизительно $1.097 \cdot 10^7 \, \text{м}^{-1}$.

Таким образом, мы получаем искомую обобщенную формулу Бальмера, или формулу Ридберга, для спектра излучения атома водорода:

$\frac{1}{\lambda} = R \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right)$

Ответ:

Формула для расчёта длин волн в спектре излучения атома водорода (формула Ридберга) при переходе электрона из возбуждённого состояния с номером $\text{m}$ в состояние с номером $\text{n}$ имеет вид:

$\frac{1}{\lambda} = R \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right)$

где $\lambda$ – длина волны излучаемого фотона, $\text{R}$ – постоянная Ридберга, $\text{n}$ и $\text{m}$ – целые числа (главные квантовые числа), причём $m > n \geq 1$.