Номер 11.7, страница 212 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Модель атома Резерфорда — Бора - номер 11.7, страница 212.

Условие.

11.7*. Определите энергию электрона, движущегося по ближайшей к ядру орбите в атоме водорода (рис. 11.3), если радиус орбиты $5.3 \cdot 10^{-11}$ м. Какую энергию нужно сообщить атому водорода, чтобы электрон перешёл на следующую разрешённую орбиту?

Рис. 11.3

Решение.

Дано:

$r_1 = 5.3 \cdot 10^{-11}$ м (радиус ближайшей к ядру орбиты, n=1)

Атом водорода (ядро состоит из одного протона)

Справочные данные:

Модуль заряда электрона и протона $e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Масса электрона $m_e = 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг

Электрическая постоянная $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$E_1$ — энергия электрона на ближайшей к ядру орбите.

$\Delta E$ — энергия, необходимая для перехода на следующую разрешённую орбиту.

Решение:

Определите энергию электрона, движущегося по ближайшей к ядру орбите в атоме водорода

Полная энергия электрона в атоме складывается из его кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$ в электростатическом поле ядра:

$E = E_k + E_p$

Электрон движется по круговой орбите, и сила кулоновского притяжения к ядру $F_{кул}$ создает центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{кул} = m_e a_{цс}$

где $F_{кул} = \frac{k e^2}{r^2}$ и $a_{цс} = \frac{v^2}{r}$.

$\frac{k e^2}{r^2} = \frac{m_e v^2}{r}$

Отсюда можно выразить кинетическую энергию $E_k = \frac{1}{2} m_e v^2$:

$m_e v^2 = \frac{k e^2}{r} \implies E_k = \frac{1}{2} m_e v^2 = \frac{k e^2}{2r}$

Потенциальная энергия электрона в поле протона равна:

$E_p = -\frac{k e^2}{r}$

Тогда полная энергия электрона на орбите радиусом $\text{r}$ составляет:

$E = E_k + E_p = \frac{k e^2}{2r} - \frac{k e^2}{r} = -\frac{k e^2}{2r}$

Для ближайшей к ядру орбиты (основного состояния, n=1) с радиусом $r_1 = 5.3 \cdot 10^{-11}$ м, энергия $E_1$ будет равна:

$E_1 = -\frac{k e^2}{2r_1} = -\frac{9 \cdot 10^9 \text{ Н·м²/Кл²} \cdot (1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})^2}{2 \cdot 5.3 \cdot 10^{-11} \text{ м}}$

$E_1 = -\frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2.56 \cdot 10^{-38}}{10.6 \cdot 10^{-11}} \text{ Дж} = -\frac{23.04 \cdot 10^{-29}}{10.6 \cdot 10^{-11}} \text{ Дж} \approx -2.17 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Ответ: Энергия электрона на ближайшей к ядру орбите составляет примерно $-2.17 \cdot 10^{-18}$ Дж.

Какую энергию нужно сообщить атому водорода, чтобы электрон перешёл на следующую разрешённую орбиту?

Следующая разрешённая орбита соответствует главному квантовому числу $n=2$. Согласно модели атома Бора, радиус $\text{n}$-ой стационарной орбиты связан с радиусом первой орбиты $r_1$ соотношением:

$r_n = r_1 \cdot n^2$

Для второй орбиты ($n=2$):

$r_2 = r_1 \cdot 2^2 = 4r_1$

Энергия электрона на второй орбите $E_2$ вычисляется по той же формуле, что и $E_1$, но с радиусом $r_2$:

$E_2 = -\frac{k e^2}{2r_2} = -\frac{k e^2}{2(4r_1)} = \frac{1}{4} \left(-\frac{k e^2}{2r_1}\right) = \frac{E_1}{4}$

$E_2 = \frac{-2.17 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{4} \approx -0.54 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Энергия $\Delta E$, которую нужно сообщить атому для перехода электрона с первого на второй энергетический уровень, равна разности энергий этих уровней:

$\Delta E = E_2 - E_1$

$\Delta E = \frac{E_1}{4} - E_1 = -\frac{3}{4} E_1$

Подставим вычисленное значение $E_1$:

$\Delta E = -\frac{3}{4} \cdot (-2.17 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}) \approx 1.63 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Ответ: Чтобы электрон перешёл на следующую разрешённую орбиту, атому водорода нужно сообщить энергию около $1.63 \cdot 10^{-18}$ Дж.