Номер 11.6, страница 211 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Модель атома Резерфорда — Бора - номер 11.6, страница 211.

Условие.

11.6*. Получите для атома водорода формулы кинетической энергии орбитального движения электрона, потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром и полной энергии атома (системы из ядра и электрона). Вычислите их значения для основного состояния атома ($n=1$).

Решение.

Дано:

Атом водорода

Основное состояние: $n=1$

Константы (в системе СИ):

Масса электрона: $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31}$ кг

Элементарный заряд: $e \approx 1.602 \times 10^{-19}$ Кл

Постоянная в законе Кулона: $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 8.99 \times 10^9$ Н·м²/Кл²

Приведенная постоянная Планка: $\hbar = \frac{h}{2\pi} \approx 1.055 \times 10^{-34}$ Дж·с

Найти:

$E_{k,n}$ – формула кинетической энергии электрона

$E_{p,n}$ – формула потенциальной энергии взаимодействия

$E_n$ – формула полной энергии атома

$E_{k,1}$, $E_{p,1}$, $E_1$ – значения энергий для основного состояния

Решение:

Для вывода формул используем планетарную модель атома Бора. Электрон (масса $m_e$, заряд $-e$) вращается вокруг неподвижного ядра-протона (заряд $+e$) по круговой орбите радиуса $r_n$. Сила кулоновского притяжения сообщает электрону центростремительное ускорение.

Запишем второй закон Ньютона для электрона на орбите:

$F_{кул} = F_{цс}$

$k\frac{e^2}{r_n^2} = m_e\frac{v_n^2}{r_n}$ (1)

где $v_n$ – скорость электрона на $\text{n}$-й орбите.

Согласно первому постулату Бора, момент импульса электрона на стационарной орбите квантуется:

$L_n = m_e v_n r_n = n\hbar$, где $n = 1, 2, 3, ...$

Из этого постулата выразим скорость $v_n = \frac{n\hbar}{m_e r_n}$ и подставим в уравнение (1):

$k\frac{e^2}{r_n^2} = m_e\frac{1}{r_n}\left(\frac{n\hbar}{m_e r_n}\right)^2 = \frac{n^2\hbar^2}{m_e r_n^3}$

Отсюда находим выражение для радиуса $\text{n}$-й стационарной орбиты:

$r_n = \frac{n^2\hbar^2}{k m_e e^2}$ (2)

Теперь, имея выражение для радиуса орбиты, мы можем вывести формулы для всех видов энергии.

Формула кинетической энергии орбитального движения электрона

Кинетическая энергия электрона равна $E_{k,n} = \frac{1}{2}m_e v_n^2$. Из уравнения (1) можно получить $m_e v_n^2 = k\frac{e^2}{r_n}$. Тогда кинетическая энергия равна:

$E_{k,n} = \frac{1}{2} k\frac{e^2}{r_n}$

Подставив выражение для радиуса $r_n$ из (2), получим окончательную формулу:

$E_{k,n} = \frac{1}{2} k e^2 \left(\frac{k m_e e^2}{n^2\hbar^2}\right) = \frac{k^2 m_e e^4}{2n^2\hbar^2}$

Ответ: Формула кинетической энергии: $E_{k,n} = \frac{k^2 m_e e^4}{2n^2\hbar^2}$.

Формула потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром

Потенциальная энергия электростатического взаимодействия электрона (заряд $-e$) и ядра (заряд $+e$), находящихся на расстоянии $r_n$, равна:

$E_{p,n} = k\frac{(-e)(+e)}{r_n} = -k\frac{e^2}{r_n}$

Подставляя выражение для радиуса $r_n$ из (2), получаем:

$E_{p,n} = -k e^2 \left(\frac{k m_e e^2}{n^2\hbar^2}\right) = -\frac{k^2 m_e e^4}{n^2\hbar^2}$

Ответ: Формула потенциальной энергии: $E_{p,n} = -\frac{k^2 m_e e^4}{n^2\hbar^2}$.

Формула полной энергии атома

Полная энергия атома является суммой кинетической и потенциальной энергий электрона:

$E_n = E_{k,n} + E_{p,n} = \frac{k^2 m_e e^4}{2n^2\hbar^2} - \frac{k^2 m_e e^4}{n^2\hbar^2} = -\frac{k^2 m_e e^4}{2n^2\hbar^2}$

Ответ: Формула полной энергии: $E_n = -\frac{k^2 m_e e^4}{2n^2\hbar^2}$.

Вычисление значений для основного состояния атома ($n=1$)

Для основного состояния $n=1$. Вычислим сначала значение энергетической постоянной $E_0 = \frac{k^2 m_e e^4}{2\hbar^2}$ (энергия Ридберга):

$E_0 = \frac{(8.99 \times 10^9)^2 \cdot (9.11 \times 10^{-31}) \cdot (1.602 \times 10^{-19})^4}{2 \cdot (1.055 \times 10^{-34})^2} \approx 2.18 \times 10^{-18}$ Дж

Для удобства переведем это значение в электрон-вольты (эВ), используя соотношение $\text{1}$ эВ $\approx 1.602 \times 10^{-19}$ Дж:

$E_0 \approx \frac{2.18 \times 10^{-18} \text{ Дж}}{1.602 \times 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} \approx 13.6$ эВ

Теперь найдем искомые значения энергий для основного состояния ($n=1$):

1. Кинетическая энергия: $E_{k,1} = \frac{E_0}{1^2} = E_0 \approx 13.6$ эВ ($2.18 \times 10^{-18}$ Дж).

2. Потенциальная энергия: $E_{p,1} = -2\frac{E_0}{1^2} = -2E_0 \approx -2 \cdot 13.6 \text{ эВ} = -27.2$ эВ ($-4.36 \times 10^{-18}$ Дж).

3. Полная энергия: $E_1 = -\frac{E_0}{1^2} = -E_0 \approx -13.6$ эВ ($-2.18 \times 10^{-18}$ Дж).

Ответ: Для основного состояния атома водорода ($n=1$):
- кинетическая энергия $E_{k,1} \approx 13.6$ эВ ($ \approx 2.18 \times 10^{-18}$ Дж);
- потенциальная энергия $E_{p,1} \approx -27.2$ эВ ($ \approx -4.36 \times 10^{-18}$ Дж);
- полная энергия $E_1 \approx -13.6$ эВ ($ \approx -2.18 \times 10^{-18}$ Дж).