Номер 10.100, страница 210 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Фотоэффект - номер 10.100, страница 210.

Условие.

10.100* Фотоэлектроны, выбитые с поверхности катода, покрытого кальцием, попадают в однородное магнитное поле с индукцией $4 \cdot 10^{-4}$ Тл перпендикулярно магнитным линиям. Найдите частоту падающего на катод излучения, если наибольший радиус кривизны траектории электронов равен 10 мм.

Решение.

Дано

Материал катода: кальций (Ca)

Индукция магнитного поля, $B = 4 \cdot 10^{-4}$ Тл

Наибольший радиус кривизны траектории, $R_{max} = 10 \text{ мм}$

Перевод в систему СИ:

$R_{max} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.01 \text{ м}$

Справочные данные:

Работа выхода для кальция, $A_{вых} \approx 2.87 \text{ эВ} = 2.87 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 4.59 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Масса электрона, $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Модуль заряда электрона, $|e| \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Постоянная Планка, $h \approx 6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Найти:

Частоту падающего излучения, $\nu$.

Решение

Для решения задачи используем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

$h\nu = A_{вых} + K_{max}$

где $h\nu$ – энергия падающего фотона, $A_{вых}$ – работа выхода электрона с поверхности кальция, а $K_{max}$ – максимальная кинетическая энергия выбитого фотоэлектрона.

Наибольший радиус траектории в магнитном поле соответствует электронам, обладающим наибольшей скоростью, а следовательно, и максимальной кинетической энергией $K_{max}$.

На электрон, движущийся в магнитном поле перпендикулярно линиям индукции, действует сила Лоренца, которая сообщает ему центростремительное ускорение:

$F_Л = |e|v_{max}B$

Согласно второму закону Ньютона, эта сила равна произведению массы электрона на центростремительное ускорение:

$F_Л = \frac{m_e v_{max}^2}{R_{max}}$

Приравнивая эти два выражения, получаем:

$|e|v_{max}B = \frac{m_e v_{max}^2}{R_{max}}$

Отсюда можно выразить максимальную скорость электрона:

$v_{max} = \frac{|e|B R_{max}}{m_e}$

Теперь найдем максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов:

$K_{max} = \frac{m_e v_{max}^2}{2} = \frac{m_e}{2} \left( \frac{|e|B R_{max}}{m_e} \right)^2 = \frac{e^2 B^2 R_{max}^2}{2m_e}$

Подставим это выражение для $K_{max}$ в уравнение Эйнштейна:

$h\nu = A_{вых} + \frac{e^2 B^2 R_{max}^2}{2m_e}$

Выразим искомую частоту $\nu$:

$\nu = \frac{1}{h} \left( A_{вых} + \frac{e^2 B^2 R_{max}^2}{2m_e} \right)$

Произведем вычисления. Сначала найдем значение максимальной кинетической энергии:

$K_{max} = \frac{(1.6 \cdot 10^{-19})^2 \cdot (4 \cdot 10^{-4})^2 \cdot (0.01)^2}{2 \cdot 9.11 \cdot 10^{-31}} = \frac{2.56 \cdot 10^{-38} \cdot 16 \cdot 10^{-8} \cdot 10^{-4}}{18.22 \cdot 10^{-31}} = \frac{40.96 \cdot 10^{-50}}{18.22 \cdot 10^{-31}} \approx 2.25 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Теперь найдем частоту:

$\nu = \frac{4.59 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} + 2.25 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}{6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}} = \frac{6.84 \cdot 10^{-19}}{6.63 \cdot 10^{-34}} \approx 1.03 \cdot 10^{15} \text{ Гц}$

Ответ: частота падающего на катод излучения равна $1.03 \cdot 10^{15}$ Гц.