Номер 10.93, страница 209 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Фотоэффект - номер 10.93, страница 209.

Условие.

10.93* При увеличении частоты падающего на металл излучения в 2 раза задерживающее напряжение увеличивается в 3 раза. Частота первоначально падающего излучения $1,2 \cdot 10^{15}$ Гц. Определите красную границу фотоэффекта для этого металла.

Решение.

Дано:
Отношение конечной и начальной частот: $\frac{\nu_2}{\nu_1} = 2$
Отношение конечного и начального задерживающих напряжений: $\frac{U_2}{U_1} = 3$
Начальная частота падающего излучения: $\nu_1 = 1,2 \cdot 10^{15}$ Гц
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:
Красную границу фотоэффекта: $\nu_{кр}$

Решение:
В основе решения лежит уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:
$E_{фотона} = A_{вых} + E_{k,max}$
где $E_{фотона}$ - энергия падающего фотона, $A_{вых}$ - работа выхода электрона из металла, а $E_{k,max}$ - максимальная кинетическая энергия вылетевшего электрона.
Энергию фотона можно выразить через частоту излучения $\nu$ и постоянную Планка $\text{h}$: $E_{фотона} = h\nu$.
Работу выхода можно выразить через частоту красной границы фотоэффекта $\nu_{кр}$: $A_{вых} = h\nu_{кр}$.
Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов связана с задерживающим напряжением $\text{U}$ соотношением: $E_{k,max} = eU$, где $\text{e}$ - элементарный заряд.

Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим:
$h\nu = h\nu_{кр} + eU$

Запишем это уравнение для двух случаев, описанных в условии задачи:
1. Для первоначального излучения с частотой $\nu_1$ и задерживающим напряжением $U_1$:
$h\nu_1 = h\nu_{кр} + eU_1$ (1)
2. Для излучения с увеличенной в 2 раза частотой ($\nu_2 = 2\nu_1$) и увеличенным в 3 раза задерживающим напряжением ($U_2 = 3U_1$):
$h\nu_2 = h\nu_{кр} + eU_2$
$h(2\nu_1) = h\nu_{кр} + e(3U_1)$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений. Выразим $eU_1$ из первого уравнения:
$eU_1 = h\nu_1 - h\nu_{кр}$

Теперь подставим полученное выражение для $eU_1$ во второе уравнение:
$2h\nu_1 = h\nu_{кр} + 3(h\nu_1 - h\nu_{кр})$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $\nu_{кр}$:
$2h\nu_1 = h\nu_{кр} + 3h\nu_1 - 3h\nu_{кр}$
$2h\nu_1 = 3h\nu_1 - 2h\nu_{кр}$

Перенесем члены с $\nu_{кр}$ в левую часть, а с $\nu_1$ - в правую:
$2h\nu_{кр} = 3h\nu_1 - 2h\nu_1$
$2h\nu_{кр} = h\nu_1$

Сократим обе части уравнения на постоянную Планка $\text{h}$:
$2\nu_{кр} = \nu_1$
$\nu_{кр} = \frac{\nu_1}{2}$

Подставим известное значение начальной частоты $\nu_1$:
$\nu_{кр} = \frac{1,2 \cdot 10^{15} \text{ Гц}}{2} = 0,6 \cdot 10^{15} \text{ Гц} = 6 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$

Ответ: красная граница фотоэффекта для этого металла составляет $6 \cdot 10^{14}$ Гц.