Номер 10.95, страница 209 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Фотоэффект - номер 10.95, страница 209.

Условие.

10.95*. Фотон с энергией 10 эВ падает на цинковую пластинку и вызывает фотоэффект. Определите импульс, полученный пластинкой, если направления движения фотона и фотоэлектрона лежат на одной прямой, перпендикулярной поверхности пластинки.

Решение.

Дано:

Энергия падающего фотона $E_{ф} = 10 \text{ эВ}$.

Материал пластинки: цинк (Zn).

Масса электрона $m_e = 9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$.

Скорость света в вакууме $c = 3.0 \cdot 10^8 \text{ м/с}$.

Элементарный заряд $e = 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$.

Работа выхода для цинка (справочное значение) $A_{вых} = 4.3 \text{ эВ}$.

Перевод в СИ:

$E_{ф} = 10 \text{ эВ} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ} = 1.6 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$.

$A_{вых} = 4.3 \text{ эВ} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ} \approx 6.9 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$.

Найти:

$p_{пл}$ - импульс, полученный пластинкой.

Решение:

Данное явление описывается законами сохранения энергии и импульса. При фотоэффекте фотон поглощается пластинкой, и из нее вылетает фотоэлектрон. Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из фотона и цинковой пластинки. Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы до взаимодействия равен суммарному импульсу системы после взаимодействия.

До взаимодействия импульс системы равен импульсу падающего фотона, так как пластинка покоится:

$\vec{p}_{до} = \vec{p}_{ф}$.

После взаимодействия фотон поглощается, а пластинка и вылетевший фотоэлектрон приходят в движение. Суммарный импульс системы равен векторной сумме импульсов пластинки и фотоэлектрона:

$\vec{p}_{после} = \vec{p}_{пл} + \vec{p}_{е}$.

Из закона сохранения импульса $\vec{p}_{до} = \vec{p}_{после}$ следует:

$\vec{p}_{ф} = \vec{p}_{пл} + \vec{p}_{е}$.

Отсюда импульс, полученный пластинкой (то есть, изменение ее импульса от нуля до $\vec{p}_{пл}$), равен:

$\vec{p}_{пл} = \vec{p}_{ф} - \vec{p}_{е}$.

По условию задачи, фотон и фотоэлектрон движутся вдоль одной прямой, перпендикулярной поверхности пластинки. Направим ось OX вдоль этого направления. Тогда векторное уравнение можно записать в проекциях на эту ось:

$p_{пл} = p_{ф} - p_{е}$.

Для нахождения $p_{пл}$ необходимо вычислить импульс фотона $p_{ф}$ и импульс фотоэлектрона $p_{е}$.

1. Найдем импульс фотона. Энергия фотона связана с его импульсом соотношением $E_{ф} = p_{ф}c$.

$p_{ф} = \frac{E_{ф}}{c} = \frac{1.6 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{3.0 \cdot 10^8 \text{ м/с}} \approx 5.3 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

2. Найдем импульс фотоэлектрона. Для этого сначала определим его кинетическую энергию $K_е$ из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:

$E_{ф} = A_{вых} + K_{е}$.

$K_{е} = E_{ф} - A_{вых} = 1.6 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} - 6.9 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = (16 - 6.9) \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 9.1 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$.

Так как полученная кинетическая энергия электрона ($K_е \approx 5.7 \text{ эВ}$) много меньше его энергии покоя ($m_e c^2 \approx 0.511 \text{ МэВ}$), для связи кинетической энергии и импульса можно использовать нерелятивистскую формулу:

$K_{е} = \frac{p_e^2}{2m_e}$.

Отсюда импульс фотоэлектрона:

$p_{е} = \sqrt{2m_e K_е} = \sqrt{2 \cdot 9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 9.1 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}} = \sqrt{165.62 \cdot 10^{-50}} \text{ кг} \cdot \text{м/с} \approx 1.29 \cdot 10^{-24} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

С учетом точности исходных данных, округлим до двух значащих цифр: $p_{е} \approx 1.3 \cdot 10^{-24} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

3. Теперь можем вычислить импульс, полученный пластинкой:

$p_{пл} = p_{ф} - p_{е} = 5.3 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \cdot \text{м/с} - 1.3 \cdot 10^{-24} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Поскольку импульс фотона на три порядка меньше импульса фотоэлектрона, им можно пренебречь в сумме, или учесть для точности:

$p_{пл} = (0.0053 - 1.3) \cdot 10^{-24} \text{ кг} \cdot \text{м/с} \approx -1.3 \cdot 10^{-24} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Знак «минус» указывает на то, что импульс пластинки направлен в сторону, противоположную направлению движения падающего фотона и вылетевшего фотоэлектрона. Это означает, что пластинка испытывает отдачу.

Ответ: импульс, полученный пластинкой, равен по модулю $1.3 \cdot 10^{-24} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$ и направлен в сторону, противоположную движению фотона.