Номер 10.99, страница 210 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 10. Квантовая природа излучения. Фотоэффект - номер 10.99, страница 210.

Условие.

10.99*. На фотокатод, покрытый кальцием, падает излучение с частотой $2 \cdot 10^{15}$ Гц. Фотоэлектроны попадают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции и движутся по окружностям с максимальным радиусом $\text{5}$ мм. Найдите индукцию магнитного поля.

Решение.

Дано

Материал фотокатода - Кальций (Ca)

Частота излучения, $ν = 2 \cdot 10^{15}$ Гц

Максимальный радиус траектории фотоэлектронов, $R_{max} = 5$ мм

Постоянная Планка, $h \approx 6.63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Работа выхода для кальция, $A_{вых} \approx 2.87$ эВ

Масса электрона, $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг

Элементарный заряд, $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Перевод в систему СИ:

$R_{max} = 5 \cdot 10^{-3}$ м

$A_{вых} = 2.87 \text{ эВ} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \frac{\text{Дж}}{\text{эВ}} \approx 4.59 \cdot 10^{-19}$ Дж

Найти:

Индукцию магнитного поля, $\text{B}$

Решение

1. Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, чтобы найти максимальную кинетическую энергию $E_{k,max}$ выбитых фотоэлектронов:

$hν = A_{вых} + E_{k,max}$

Отсюда максимальная кинетическая энергия равна:

$E_{k,max} = hν - A_{вых}$

Подставим числовые значения:

$E_{k,max} = (6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с}) \cdot (2 \cdot 10^{15} \text{ Гц}) - 4.59 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

$E_{k,max} = 13.26 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} - 4.59 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 8.67 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

2. Максимальная кинетическая энергия связана с максимальной скоростью $v_{max}$ фотоэлектронов соотношением:

$E_{k,max} = \frac{m_e v_{max}^2}{2}$

3. Когда электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, на него действует сила Лоренца $F_Л$, которая заставляет его двигаться по окружности. Эта сила является центростремительной силой $F_ц$.

$F_Л = e v B$

$F_ц = \frac{m_e v^2}{R}$

Приравнивая эти силы для электронов с максимальной скоростью, движущихся по траектории с максимальным радиусом:

$e v_{max} B = \frac{m_e v_{max}^2}{R_{max}}$

Выразим индукцию магнитного поля $\text{B}$:

$B = \frac{m_e v_{max}}{e R_{max}}$

4. Чтобы найти $\text{B}$, нам нужно выразить $v_{max}$ через $E_{k,max}$. Из формулы для кинетической энергии:

$v_{max}^2 = \frac{2 E_{k,max}}{m_e} \Rightarrow v_{max} = \sqrt{\frac{2 E_{k,max}}{m_e}}$

Подставим это выражение для $v_{max}$ в формулу для $\text{B}$:

$B = \frac{m_e}{e R_{max}} \sqrt{\frac{2 E_{k,max}}{m_e}} = \frac{1}{e R_{max}} \sqrt{\frac{m_e^2 \cdot 2 E_{k,max}}{m_e}} = \frac{\sqrt{2 m_e E_{k,max}}}{e R_{max}}$

5. Подставим все известные значения в полученную формулу:

$B = \frac{\sqrt{2 \cdot (9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (8.67 \cdot 10^{-19} \text{ Дж})}}{(1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (5 \cdot 10^{-3} \text{ м})}$

$B = \frac{\sqrt{15.8 \cdot 10^{-50}}}{8 \cdot 10^{-22}} = \frac{\sqrt{1.58 \cdot 10^{-49}}}{8 \cdot 10^{-22}} = \frac{1.257 \cdot 10^{-24.5}}{8 \cdot 10^{-22}}$ - это неверно. Правильно так:

$B = \frac{\sqrt{15.8 \cdot 10^{-50}}}{8 \cdot 10^{-22}} = \frac{\sqrt{1.58 \cdot 10^{-49}}}{8 \cdot 10^{-22}} \text{ (тут ошибка в степени, правильно) } \frac{\sqrt{15.8 \cdot 10^{-50}}}{8 \cdot 10^{-22}} = \frac{\sqrt{1.58 \cdot 10^{-49}}}{8 \cdot 10^{-22}} \text{ (исправим) } = \frac{\sqrt{158 \cdot 10^{-51}}}{8 \cdot 10^{-22}} \text{ (нет, так) } = \frac{\sqrt{1.58 \cdot 10^{-49}}}{8 \cdot 10^{-22}} \text{ (нет, вернемся к началу) }$

$B = \frac{\sqrt{15.8 \cdot 10^{-50} \text{ кг}^2 \text{м}^2/\text{с}^2}}{8 \cdot 10^{-22} \text{ Кл} \cdot \text{м}} = \frac{3.97 \cdot 10^{-25} \text{ кг} \cdot \text{м}/\text{с}}{8 \cdot 10^{-22} \text{ Кл} \cdot \text{м}} \approx 0.496 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{Кл} \cdot \text{с}}$

Единица измерения $\frac{\text{кг}}{\text{Кл} \cdot \text{с}}$ является Тесла (Тл).

$B \approx 0.5 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 0.5$ мТл.

Давайте пересчитаем более точно, используя выражение $B = \frac{\sqrt{2 m_e E_{k,max}}}{e R_{max}}$:

$B = \frac{\sqrt{2 \cdot 9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 8.67 \cdot 10^{-19}}}{1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 5 \cdot 10^{-3}} = \frac{\sqrt{1.579 \cdot 10^{-48}}}{8 \cdot 10^{-22}} = \frac{1.257 \cdot 10^{-24}}{8 \cdot 10^{-22}} \approx 0.157 \cdot 10^{-2} \text{ Тл} = 1.57 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

Ответ: $B \approx 1.6 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$ или $1.6$ мТл.