Номер 11.5, страница 211 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Модель атома Резерфорда — Бора - номер 11.5, страница 211.

Условие.

11.5*. Получите формулу радиуса n-й боровской орбиты и формулу скорости электрона на этой орбите для атома водорода. Вычислите значение радиуса орбиты и скорости электрона для основного состояния $ (n = 1) $.

Решение.

Получение формулы радиуса n-й боровской орбиты и формулы скорости электрона на этой орбите для атома водорода

Для вывода формул воспользуемся постулатами Бора для атома водорода, ядро которого состоит из одного протона, а вокруг него по круговой орбите движется один электрон.

1. Электрон движется по орбите под действием кулоновской силы притяжения к ядру. Эта сила является центростремительной силой, удерживающей электрон на орбите. Запишем второй закон Ньютона для электрона:

$F_{цс} = F_{кул}$

$\frac{m_e v_n^2}{r_n} = k \frac{e^2}{r_n^2}$ (1)

где $m_e$ — масса электрона, $v_n$ — его скорость на n-й орбите, $r_n$ — радиус n-й орбиты, $\text{e}$ — модуль заряда электрона (и протона), $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — коэффициент в законе Кулона.

2. Согласно второму постулату Бора (правилу квантования орбит), момент импульса электрона на стационарной орбите должен быть кратен редуцированной постоянной Планка $\hbar$:

$L_n = m_e v_n r_n = n\hbar$, где $n = 1, 2, 3, ...$ — главное квантовое число. (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($r_n$ и $v_n$). Решим ее.

Из уравнения (2) выразим скорость $v_n$:

$v_n = \frac{n\hbar}{m_e r_n}$ (3)

Подставим это выражение для скорости в уравнение (1):

$\frac{m_e}{r_n} \left( \frac{n\hbar}{m_e r_n} \right)^2 = k \frac{e^2}{r_n^2}$

$\frac{m_e n^2 \hbar^2}{r_n m_e^2 r_n^2} = k \frac{e^2}{r_n^2}$

$\frac{n^2 \hbar^2}{m_e r_n^3} = k \frac{e^2}{r_n^2}$

Сократив и выразив $r_n$, получим формулу для радиуса n-й боровской орбиты:

$r_n = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e k e^2}$

Для нахождения скорости $v_n$ выразим радиус $r_n$ из уравнения (2): $r_n = \frac{n\hbar}{m_e v_n}$. Подставим его в упрощенное уравнение (1), $m_e v_n^2 r_n = k e^2$:

$m_e v_n^2 \left( \frac{n\hbar}{m_e v_n} \right) = k e^2$

$v_n n \hbar = k e^2$

Отсюда получаем формулу для скорости электрона на n-й орбите:

$v_n = \frac{k e^2}{n\hbar}$

Ответ: Формула радиуса n-й боровской орбиты $r_n = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e k e^2}$. Формула скорости электрона на n-й орбите $v_n = \frac{k e^2}{n\hbar}$.

Вычисление значения радиуса орбиты и скорости электрона для основного состояния (n = 1)

Дано:

$n = 1$
Масса электрона, $m_e = 9.11 \times 10^{-31}$ кг
Элементарный заряд, $e = 1.602 \times 10^{-19}$ Кл
Редуцированная постоянная Планка, $\hbar = 1.054 \times 10^{-34}$ Дж·с
Коэффициент в законе Кулона, $k = 8.99 \times 10^{9} \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}$

Найти:

$r_1$ - ?
$v_1$ - ?

Решение:

Подставим значение $n=1$ и константы в полученные формулы.

1. Вычисление радиуса для основного состояния ($n=1$):

$r_1 = \frac{1^2 \cdot \hbar^2}{m_e k e^2} = \frac{(1.054 \times 10^{-34})^2}{9.11 \times 10^{-31} \cdot 8.99 \times 10^9 \cdot (1.602 \times 10^{-19})^2}$

$r_1 = \frac{1.111 \times 10^{-68}}{8.189 \times 10^{-21} \cdot 2.566 \times 10^{-38}} = \frac{1.111 \times 10^{-68}}{2.101 \times 10^{-58}} \approx 0.529 \times 10^{-10}$ м

Это значение называется боровским радиусом.

Ответ: Радиус орбиты для основного состояния $r_1 \approx 5.29 \times 10^{-11}$ м.

2. Вычисление скорости для основного состояния ($n=1$):

$v_1 = \frac{k e^2}{1 \cdot \hbar} = \frac{8.99 \times 10^9 \cdot (1.602 \times 10^{-19})^2}{1.054 \times 10^{-34}}$

$v_1 = \frac{8.99 \times 10^9 \cdot 2.566 \times 10^{-38}}{1.054 \times 10^{-34}} = \frac{2.307 \times 10^{-28}}{1.054 \times 10^{-34}} \approx 2.19 \times 10^6$ м/с

Ответ: Скорость электрона для основного состояния $v_1 \approx 2.19 \times 10^6$ м/с.