Номер 11.22, страница 214 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Модель атома Резерфорда — Бора - номер 11.22, страница 214.

Условие.

11.22*. Какие спектральные линии появятся при возбуждении атомарного водорода электронами с энергией 12,1 эВ (в результате столкновения с электроном атом переходит в возбуждённое состояние, при переходе из этого энергетического состояния в более низкое излучается квант энергии)? Какова должна быть наименьшая энергия бомбардирующих электронов, чтобы появились все линии всех серий спектра водорода?

Решение.

Какие спектральные линии появятся при возбуждении атомарного водорода электронами с энергией 12,1 эВ?

Дано:

Энергия бомбардирующих электронов $E_e = 12.1$ эВ
Энергия ионизации атома водорода $E_0 = 13.6$ эВ
Элементарный заряд $e = 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Перевод в систему СИ:
$E_e = 12.1 \text{ эВ} = 12.1 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 1.94 \cdot 10^{-18}$ Дж
$E_0 = 13.6 \text{ эВ} = 13.6 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 2.18 \cdot 10^{-18}$ Дж

Найти:

Возможные спектральные линии.

Решение:

Энергетические уровни атома водорода определяются формулой Бора:

$E_n = -\frac{E_0}{n^2}$

где $E_0 = 13.6$ эВ – энергия ионизации, а $\text{n}$ – главное квантовое число ($n=1, 2, 3, ...$).

В невозбужденном состоянии атом водорода находится на основном уровне с $n=1$. Его энергия составляет $E_1 = -13.6$ эВ.

При столкновении с электроном, имеющим энергию $E_e = 12.1$ эВ, атом может поглотить часть этой энергии и перейти в возбужденное состояние с квантовым числом $\text{n}$. Энергия, необходимая для перехода с основного уровня ($n_1=1$) на возбужденный уровень ($n_2=n$), равна:

$\Delta E = E_n - E_1 = (-\frac{E_0}{n^2}) - (-\frac{E_0}{1^2}) = E_0(1 - \frac{1}{n^2})$

Эта поглощенная энергия не может превышать энергию налетающего электрона: $\Delta E \le E_e$. Проведем расчеты в электронвольтах, так как это удобнее.

$13.6 \cdot (1 - \frac{1}{n^2}) \le 12.1$

Определим максимальное значение $\text{n}$, на которое может быть возбужден атом:

Для перехода на $n=2$:

$\Delta E_{1 \to 2} = 13.6 \cdot (1 - \frac{1}{2^2}) = 13.6 \cdot 0.75 = 10.2$ эВ.

Поскольку $10.2 \text{ эВ} < 12.1 \text{ эВ}$, переход на второй уровень возможен.

Для перехода на $n=3$:

$\Delta E_{1 \to 3} = 13.6 \cdot (1 - \frac{1}{3^2}) = 13.6 \cdot \frac{8}{9} \approx 12.09$ эВ.

Поскольку $12.09 \text{ эВ} < 12.1 \text{ эВ}$, переход на третий уровень также возможен.

Для перехода на $n=4$:

$\Delta E_{1 \to 4} = 13.6 \cdot (1 - \frac{1}{4^2}) = 13.6 \cdot \frac{15}{16} = 12.75$ эВ.

Поскольку $12.75 \text{ эВ} > 12.1 \text{ эВ}$, переход на четвертый уровень и выше невозможен.

Таким образом, атом водорода может быть возбужден на уровни с $n=2$ и $n=3$. После возбуждения атом будет возвращаться в основное состояние, излучая фотоны. Возможны следующие переходы:

1. С уровня $n=3$ на уровень $n=2$ (серия Бальмера, линия $H_{\alpha}$).

2. С уровня $n=3$ на уровень $n=1$ (серия Лаймана, линия $L_{\beta}$).

3. С уровня $n=2$ на уровень $n=1$ (серия Лаймана, линия $L_{\alpha}$).

Переход $2 \to 1$ может произойти как при прямом возбуждении атома на уровень $n=2$, так и после каскадного перехода $3 \to 2$. Следовательно, в спектре могут появиться три линии.

Ответ: При возбуждении могут появиться три спектральные линии, соответствующие переходам $3 \to 1$, $3 \to 2$ и $2 \to 1$. Это две линии серии Лаймана и одна линия серии Бальмера.

Какова должна быть наименьшая энергия бомбардирующих электронов, чтобы появились все линии всех серий спектра водорода?

Решение:

Спектральные серии водорода (Лаймана, Бальмера, Пашена и др.) образуются при переходах электрона с более высоких энергетических уровней на более низкие. Чтобы в спектре могли появиться абсолютно все возможные линии всех серий, необходимо, чтобы электрон мог совершать переходы со всех возбужденных уровней, вплоть до $n \to \infty$.

Состояние, при котором электрон может занимать любой энергетический уровень, достигается при ионизации атома. Ионизация — это процесс отрыва электрона от атома, в результате чего он становится свободным. Этому состоянию соответствует переход электрона на уровень $n = \infty$, энергия которого принимается равной нулю ($E_{\infty} = 0$).

Наименьшая энергия, которую необходимо передать атому водорода в основном состоянии ($n=1$, $E_1 = -13.6$ эВ), чтобы его ионизировать, называется энергией ионизации:

$E_{min} = E_{ion} = E_{\infty} - E_1 = 0 - (-13.6 \text{ эВ}) = 13.6$ эВ.

Если бомбардирующие электроны обладают такой энергией, они могут ионизировать атомы водорода. Свободный электрон затем может быть захвачен протоном на любой из квантовых уровней $\text{n}$, после чего он будет совершать каскадные переходы вниз, что приведет к излучению фотонов всех возможных серий.

Ответ: Наименьшая энергия бомбардирующих электронов должна быть равна энергии ионизации атома водорода, то есть 13.6 эВ.