Номер 11.24, страница 214 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Квантовая физика. Глава 11. Атомная и ядерная физика. Модель атома Резерфорда — Бора - номер 11.24, страница 214.

Условие.

11.24*. Определите, при переходе электрона между какими орбитами атом водорода испускает фотон:

а) с длиной волны 486 нм;

б) с частотой $2,93 \cdot 10^{15}$ Гц.

Решение.

а) с длиной волны 486 нм

Дано:

Атом водорода

$\lambda = 486 \text{ нм}$

Перевод в СИ:

$\lambda = 486 \cdot 10^{-9} \text{ м}$

Постоянная Ридберга $R \approx 1,097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}$

Найти:

$n_i, n_f$ - номера орбит, между которыми происходит переход электрона.

Решение:

При переходе электрона в атоме водорода с более высокой орбиты $n_i$ на более низкую $n_f$ испускается фотон. Длина волны этого фотона определяется обобщенной формулой Бальмера (формулой Ридберга):

$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$

где $\text{R}$ — постоянная Ридберга, $n_i$ и $n_f$ — главные квантовые числа начального и конечного состояний ($n_i > n_f$).

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{1}{486 \cdot 10^{-9} \text{ м}} = 1,097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1} \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$

$2,058 \cdot 10^6 \text{ м}^{-1} = 1,097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1} \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$

Отсюда находим выражение в скобках:

$\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} = \frac{2,058 \cdot 10^6}{1,097 \cdot 10^7} \approx 0,1876$

Длина волны 486 нм соответствует видимой части спектра (сине-зеленый цвет). Излучение в видимом диапазоне для атома водорода соответствует серии Бальмера, для которой конечное состояние электрона - вторая орбита, т.е. $n_f = 2$. Проверим это предположение.

$\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n_i^2} = 0,1876$

$\frac{1}{4} - \frac{1}{n_i^2} = 0,1876$

$0,25 - \frac{1}{n_i^2} = 0,1876$

$\frac{1}{n_i^2} = 0,25 - 0,1876 = 0,0624$

$n_i^2 = \frac{1}{0,0624} \approx 16,025$

$n_i = \sqrt{16,025} \approx 4$

Поскольку $n_i$ должно быть целым числом, принимаем $n_i = 4$. Таким образом, фотон с длиной волны 486 нм испускается при переходе электрона с четвертой орбиты на вторую.

Ответ: Переход происходит с 4-й орбиты на 2-ю.

б) с частотой 2,93 · 10¹⁵ Гц

Дано:

Атом водорода

$\nu = 2,93 \cdot 10^{15} \text{ Гц}$

Перевод в СИ:

Значение уже дано в СИ.

Постоянная Ридберга $R \approx 1,097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1}$

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

$n_i, n_f$ - номера орбит, между которыми происходит переход электрона.

Решение:

Используем ту же формулу Ридберга, выразив длину волны $\lambda$ через частоту $\nu$ по формуле $\lambda = c/\nu$.

$\frac{1}{\lambda} = \frac{\nu}{c}$

$\frac{\nu}{c} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$

Подставим известные значения:

$\frac{2,93 \cdot 10^{15} \text{ Гц}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = 1,097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1} \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$

$9,767 \cdot 10^6 \text{ м}^{-1} \approx 1,097 \cdot 10^7 \text{ м}^{-1} \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$

$\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} = \frac{9,767 \cdot 10^6}{1,097 \cdot 10^7} \approx 0,8903$

Такая частота соответствует ультрафиолетовому излучению. Для атома водорода это характерно для переходов на основной энергетический уровень, то есть для серии Лаймана, где $n_f = 1$. Проверим это предположение.

$\frac{1}{1^2} - \frac{1}{n_i^2} = 0,8903$

$1 - \frac{1}{n_i^2} = 0,8903$

$\frac{1}{n_i^2} = 1 - 0,8903 = 0,1097$

$n_i^2 = \frac{1}{0,1097} \approx 9,116$

$n_i = \sqrt{9,116} \approx 3,02$

Поскольку $n_i$ должно быть целым числом, принимаем $n_i = 3$. Таким образом, фотон с частотой $2,93 \cdot 10^{15}$ Гц испускается при переходе электрона с третьей орбиты на первую.

Ответ: Переход происходит с 3-й орбиты на 1-ю.