Задание 1, страница 76 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 1

Используя уравнение бегущей волны § 12 (3) и формулу связи волнового числа с длиной волны § 12 (5), докажите верность условий максимума и минимума интерференционной картины (1, 3).

Дано:

Уравнение бегущей волны (согласно § 12 (3)): $y(x, t) = A \cos(\omega t - kx)$

Формула связи волнового числа с длиной волны (согласно § 12 (5)): $k = \frac{2\pi}{\lambda}$

Найти:

Доказать верность условий максимума и минимума интерференционной картины.

Решение:

Рассмотрим интерференцию двух когерентных волн, исходящих из источников $S_1$ и $S_2$. Предположим, что волны имеют одинаковую амплитуду $\text{A}$, круговую частоту $\omega$ и одинаковую начальную фазу (для простоты примем ее равной нулю). Пусть точка наблюдения $\text{P}$ находится на расстояниях $r_1$ и $r_2$ от источников $S_1$ и $S_2$ соответственно.

Используя заданное уравнение бегущей волны, запишем колебания, создаваемые в точке $\text{P}$ каждой из волн:

$y_1(t) = A \cos(\omega t - kr_1)$

$y_2(t) = A \cos(\omega t - kr_2)$

Согласно принципу суперпозиции, результирующее смещение в точке $\text{P}$ является суммой смещений, создаваемых каждой волной:

$y(t) = y_1(t) + y_2(t) = A \cos(\omega t - kr_1) + A \cos(\omega t - kr_2)$

Для преобразования суммы косинусов воспользуемся тригонометрической формулой:

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

В нашем случае $\alpha = \omega t - kr_1$ и $\beta = \omega t - kr_2$. Тогда:

$\frac{\alpha - \beta}{2} = \frac{(\omega t - kr_1) - (\omega t - kr_2)}{2} = \frac{k(r_2 - r_1)}{2}$

$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{(\omega t - kr_1) + (\omega t - kr_2)}{2} = \omega t - k\frac{r_1 + r_2}{2}$

Подставив эти выражения в уравнение для $y(t)$, получим уравнение результирующего колебания:

$y(t) = 2A \cos\left(\frac{k(r_2 - r_1)}{2}\right) \cos\left(\omega t - k\frac{r_1 + r_2}{2}\right)$

Это уравнение описывает колебательный процесс с амплитудой $A_{рез}$, которая зависит от разности хода волн $\Delta r = r_2 - r_1$:

$A_{рез} = \left| 2A \cos\left(\frac{k(r_2 - r_1)}{2}\right) \right| = \left| 2A \cos\left(\frac{k \Delta r}{2}\right) \right|$

Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому максимумы и минимумы интенсивности соответствуют максимумам и минимумам амплитуды $A_{рез}$.

Условие максимума интерференционной картины

Максимум амплитуды (конструктивная интерференция) наблюдается, когда множитель $\cos\left(\frac{k \Delta r}{2}\right)$ принимает максимальное по модулю значение, равное 1.

$\left| \cos\left(\frac{k \Delta r}{2}\right) \right| = 1$

Это справедливо, если аргумент косинуса кратен $\pi$:

$\frac{k \Delta r}{2} = m\pi$, где $\text{m}$ - целое число ($m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$).

Отсюда $k \Delta r = 2m\pi$.

Теперь используем заданную формулу $k = \frac{2\pi}{\lambda}$:

$\frac{2\pi}{\lambda} \Delta r = 2m\pi$

Сократив обе части на $2\pi$, получаем условие максимума для разности хода. Так как разность хода $\Delta r = |r_2 - r_1|$ является неотрицательной величиной, то:

$\Delta r = m\lambda$, где $m = 0, 1, 2, \ldots$

Это условие можно также записать как разность хода, равная четному числу полуволн: $\Delta r = 2m \frac{\lambda}{2}$. Это доказывает верность условия максимума (условие 1 в задании).

Ответ: Условие максимума интерференции (усиления волн) состоит в том, что разность хода волн в точке наблюдения должна быть равна целому числу длин волн: $\Delta r = m\lambda$, где $m = 0, 1, 2, \ldots$.

Условие минимума интерференционной картины

Минимум амплитуды (деструктивная интерференция) наблюдается, когда волны гасят друг друга. В нашем случае это происходит, когда $A_{рез} = 0$. Для этого множитель $\cos\left(\frac{k \Delta r}{2}\right)$ должен быть равен нулю.

$\cos\left(\frac{k \Delta r}{2}\right) = 0$

Это справедливо, если аргумент косинуса является нечетным кратным $\frac{\pi}{2}$:

$\frac{k \Delta r}{2} = (2m + 1)\frac{\pi}{2}$, где $\text{m}$ - целое число ($m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$).

Отсюда $k \Delta r = (2m + 1)\pi$.

Подставляем $k = \frac{2\pi}{\lambda}$:

$\frac{2\pi}{\lambda} \Delta r = (2m + 1)\pi$

Сократив обе части на $\pi$ и выразив $\Delta r$, получаем условие минимума. Учитывая, что $\Delta r \ge 0$:

$\Delta r = (2m + 1)\frac{\lambda}{2}$, где $m = 0, 1, 2, \ldots$

Таким образом, для минимума интерференции разность хода должна быть равна нечетному числу полуволн. Это доказывает верность условия минимума (условие 3 в задании).

Ответ: Условие минимума интерференции (ослабления волн) состоит в том, что разность хода волн в точке наблюдения должна быть равна нечетному числу полуволн: $\Delta r = (2m + 1)\frac{\lambda}{2}$, где $m = 0, 1, 2, \ldots$.