Номер 2, страница 74 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

2. Изобразите график колебания источника волны, графики бегущей и стоячей волн к задаче 1 данного упражнения. Амплитуда колебаний источника волны 5 см.

Поскольку в условии задачи 2 есть ссылка на данные из задачи 1, которые не предоставлены, мы введем разумные предположения для недостающих параметров, чтобы можно было построить требуемые графики. Предположим, что в задаче 1 были указаны период и длина волны.

Дано:

Амплитуда колебаний источника: $A = 5$ см.
Предположим, что период колебаний (из задачи 1): $T = 4$ с.
Предположим, что длина волны (из задачи 1): $\lambda = 8$ м.

Перевод в систему СИ:
$A = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

1. График колебания источника волны.
2. Графики бегущей волны.
3. Графики стоячей волны.

Решение:

Сначала вычислим вспомогательные величины: циклическую частоту $\omega$ и волновое число $\text{k}$.

Циклическая частота: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ рад/с.

Волновое число: $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ рад/м.

График колебания источника волны

Источник волны (например, в точке $x=0$) совершает гармонические колебания. Уравнение его смещения $\text{y}$ от времени $\text{t}$ можно записать в виде:
$y(t) = A \sin(\omega t)$

Подставив наши значения, получаем:
$y(t) = 0.05 \sin(\frac{\pi}{2} t)$

График этой функции — синусоида.

• Ось ординат (вертикальная): смещение $\text{y}$, м. Значения изменяются от $-0.05$ м до $+0.05$ м.
• Ось абсцисс (горизонтальная): время $\text{t}$, с.
• Период колебаний $T=4$ с. Это значит, что за 4 секунды источник совершает одно полное колебание.
• Ключевые точки: при $t=0$ с, $y=0$ м; при $t=1$ с, $y=0.05$ м (максимум); при $t=2$ с, $y=0$ м; при $t=3$ с, $y=-0.05$ м (минимум); при $t=4$ с, $y=0$ м.

Ответ: Уравнение колебаний источника: $y(t) = 0.05 \sin(\frac{\pi}{2} t)$. График представляет собой синусоиду с амплитудой 0.05 м и периодом 4 с.

Графики бегущей волны

Бегущая волна, распространяющаяся от источника в положительном направлении оси $\text{x}$, описывается уравнением:
$y(x, t) = A \sin(\omega t - kx)$

Подставив наши значения, получаем:
$y(x, t) = 0.05 \sin(\frac{\pi}{2} t - \frac{\pi}{4} x)$

График бегущей волны можно представить двумя способами:

1. «Фотография» волны в определенный момент времени (например, при $t=0$).
Уравнение принимает вид: $y(x, 0) = 0.05 \sin(-\frac{\pi}{4} x) = -0.05 \sin(\frac{\pi}{4} x)$.
График этой функции — синусоида, описывающая форму волны в пространстве.

• Ось ординат: смещение $\text{y}$, м.
• Ось абсцисс: координата $\text{x}$, м.
• Длина волны $\lambda=8$ м. Это пространственный период функции.

2. Колебания точки в определенном месте (например, при $x=2$ м).
Уравнение принимает вид: $y(2, t) = 0.05 \sin(\frac{\pi}{2} t - \frac{\pi}{4} \cdot 2) = 0.05 \sin(\frac{\pi}{2} t - \frac{\pi}{2}) = -0.05 \cos(\frac{\pi}{2} t)$.
График этой функции — косинусоида (перевернутая), описывающая колебания частицы среды в точке $x=2$ м во времени.

• Ось ординат: смещение $\text{y}$, м.
• Ось абсцисс: время $\text{t}$, с.
• Период колебаний $T=4$ с.

Ответ: Уравнение бегущей волны: $y(x, t) = 0.05 \sin(\frac{\pi}{2} t - \frac{\pi}{4} x)$. Графики представляют собой синусоидальные зависимости смещения от координаты (при $t=const$) и смещения от времени (при $x=const$).

Графики стоячей волны

Стоячая волна образуется при наложении двух бегущих волн одинаковой частоты и амплитуды, распространяющихся навстречу друг другу. Например, при отражении волны от преграды. Уравнение стоячей волны, образованной падающей волной $A\sin(\omega t - kx)$ и отраженной от закрепленного конца в $x=0$ волной $A\sin(\omega t + kx + \pi) = -A\sin(\omega t + kx)$, после преобразований имеет вид:
$y_{ст}(x, t) = (2A \cos(\omega t)) \sin(-kx) = -2A \sin(kx) \cos(\omega t)$

Для удобства часто используют форму $y_{ст}(x, t) = (2A \sin(kx)) \cos(\omega t)$. Будем использовать ее. Амплитуда колебаний в стоячей волне зависит от координаты $\text{x}$: $A_{ст}(x) = 2A \sin(kx)$. Максимальная амплитуда (в пучностях) равна $\text{2A}$.

$y_{ст}(x, t) = (2 \cdot 0.05 \sin(\frac{\pi}{4} x)) \cos(\frac{\pi}{2} t) = 0.1 \sin(\frac{\pi}{4} x) \cos(\frac{\pi}{2} t)$

Особенность стоячей волны в том, что она не перемещается. Все точки колеблются с одинаковой частотой, но с разной амплитудой.

• Узлы — точки, которые остаются неподвижными. Их амплитуда равна нулю. $A_{ст}(x) = 0$.
  $\sin(\frac{\pi}{4} x) = 0 \implies \frac{\pi}{4} x = n\pi \implies x = 4n$, где $n=0, 1, 2, ...$
  Узлы находятся в точках $x=0, 4, 8, ...$ м.
• Пучности — точки, колеблющиеся с максимальной амплитудой $2A = 0.1$ м.
  $|\sin(\frac{\pi}{4} x)| = 1 \implies \frac{\pi}{4} x = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x = 2 + 4n$, где $n=0, 1, 2, ...$
  Пучности находятся в точках $x=2, 6, 10, ...$ м.

График стоячей волны — это семейство синусоид, показывающих профиль волны в разные моменты времени.

• При $t=0, 4, ...$ с, $\cos(\frac{\pi}{2} t) = 1$. Форма волны: $y(x) = 0.1 \sin(\frac{\pi}{4} x)$. Все точки в максимальном отклонении.
• При $t=1, 3, ...$ с, $\cos(\frac{\pi}{2} t) = 0$. Форма волны: $y(x) = 0$. Все точки проходят положение равновесия.
• При $t=2, 6, ...$ с, $\cos(\frac{\pi}{2} t) = -1$. Форма волны: $y(x) = -0.1 \sin(\frac{\pi}{4} x)$. Все точки в максимальном отклонении в противоположную сторону.

Ответ: Уравнение стоячей волны: $y_{ст}(x, t) = 0.1 \sin(\frac{\pi}{4} x) \cos(\frac{\pi}{2} t)$. График представляет собой осциллирующий на месте профиль с неподвижными точками (узлами) при $x=4n$ м и точками максимальных колебаний (пучностями) с амплитудой 0.1 м при $x=2+4n$ м.