Номер 2, страница 33 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

2. Сила тока в цепи изменяется со временем по закону $i = 4 \sin \left(314t + \frac{\pi}{6}\right)$. Определите: действующее значение силы тока, его начальную фазу и период колебаний тока. Чему будет равна сила тока в моменты времени: $t_1 = 0,01$ с, $t_2 = 0,04$ с?

Дано:

Закон изменения силы тока: $i = 4 \sin(314t + \frac{\pi}{6})$

Моменты времени: $t_1 = 0,01$ с, $t_2 = 0,04$ с

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Действующее значение силы тока - $I_{действ}$

Начальная фаза - $\phi_0$

Период колебаний - $\text{T}$

Сила тока в моменты времени $t_1$ и $t_2$ - $i_1$, $i_2$

Решение:

Общее уравнение гармонических колебаний силы тока имеет вид:

$i = I_m \sin(\omega t + \phi_0)$

где $I_m$ — амплитудное значение силы тока, $\omega$ — циклическая частота, $\text{t}$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

Сравнивая это уравнение с заданным $i = 4 \sin(314t + \frac{\pi}{6})$, находим:

Амплитудное значение силы тока: $I_m = 4$ А

Циклическая частота: $\omega = 314$ рад/с

Начальная фаза: $\phi_0 = \frac{\pi}{6}$ рад

1. Действующее значение силы тока

Действующее (эффективное) значение силы тока для синусоидального тока связано с амплитудным значением формулой:

$I_{действ} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$

Подставляем значение амплитуды:

$I_{действ} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2,83$ А

Ответ: действующее значение силы тока равно $2\sqrt{2}$ А, или примерно 2,83 А.

2. Начальная фаза

Начальная фаза колебаний определяется непосредственно из уравнения как слагаемое в аргументе синуса, не зависящее от времени.

$\phi_0 = \frac{\pi}{6}$ рад

Ответ: начальная фаза колебаний тока равна $\frac{\pi}{6}$ рад.

3. Период колебаний тока

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой $\omega$ соотношением:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Заметим, что значение циклической частоты $\omega = 314$ рад/с очень близко к $100\pi$ (т.к. $100 \times 3,14 = 314$). Будем использовать эту аппроксимацию для удобства расчетов.

$T = \frac{2\pi}{100\pi} = \frac{2}{100} = 0,02$ с

Ответ: период колебаний тока равен 0,02 с.

4. Сила тока в моменты времени $t_1$ и $t_2$

Для нахождения мгновенного значения силы тока подставим заданные моменты времени в исходное уравнение.

При $t_1 = 0,01$ с:

$i_1 = 4 \sin(314 \cdot 0,01 + \frac{\pi}{6})$

Используя ту же аппроксимацию $314 \approx 100\pi$:

$i_1 = 4 \sin(100\pi \cdot 0,01 + \frac{\pi}{6}) = 4 \sin(\pi + \frac{\pi}{6})$

Используя формулу приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$:

$i_1 = 4 (-\sin(\frac{\pi}{6})) = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$ А

При $t_2 = 0,04$ с:

$i_2 = 4 \sin(314 \cdot 0,04 + \frac{\pi}{6})$

$i_2 = 4 \sin(100\pi \cdot 0,04 + \frac{\pi}{6}) = 4 \sin(4\pi + \frac{\pi}{6})$

Учитывая, что синус - периодическая функция с периодом $2\pi$, имеем $\sin(4\pi + \alpha) = \sin(\alpha)$:

$i_2 = 4 \sin(\frac{\pi}{6}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ А

Ответ: сила тока в момент времени $t_1 = 0,01$ с равна -2 А, а в момент времени $t_2 = 0,04$ с равна 2 А.