Номер 2, страница 38 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

2. Какие условия возникновения резонанса токов и напряжений?

Резонанс в электрической цепи — это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний силы тока или напряжения при совпадении частоты внешнего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура. Существует два основных вида резонанса: резонанс напряжений и резонанс токов.

Резонанс напряжений

Резонанс напряжений, также известный как последовательный резонанс, возникает в электрической цепи переменного тока, содержащей последовательно соединенные резистор (R), катушку индуктивности (L) и конденсатор (C).
Основное условие возникновения резонанса напряжений заключается в равенстве по модулю реактивных сопротивлений катушки индуктивности и конденсатора. Индуктивное сопротивление $X_L$ прямо пропорционально частоте $\omega$, а ёмкостное сопротивление $X_C$ обратно пропорционально ей:
$X_L = \omega L$
$X_C = \frac{1}{\omega C}$
Условие резонанса:
$X_L = X_C$
или
$\omega L = \frac{1}{\omega C}$
Из этого условия можно найти резонансную угловую частоту $\omega_0$ (и резонансную частоту $f_0$):
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
$f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$
В режиме резонанса напряжений:
1. Реактивная составляющая полного сопротивления цепи равна нулю. Полное сопротивление (импеданс) цепи $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$ становится минимальным и равным активному сопротивлению: $Z_{min} = R$.
2. Сила тока в цепи достигает максимального значения, так как сопротивление минимально: $I_{max} = \frac{U}{R}$.
3. Сдвиг фаз между напряжением источника и током в цепи равен нулю, то есть ток и напряжение совпадают по фазе.
4. Напряжения на катушке индуктивности ($U_L = I \cdot X_L$) и на конденсаторе ($U_C = I \cdot X_C$) равны по величине, но противоположны по фазе (сдвинуты на 180°). Их сумма равна нулю, и всё напряжение источника падает на активном сопротивлении R.
5. Напряжения $U_L$ и $U_C$ могут многократно превышать напряжение источника $\text{U}$, что и дало название этому явлению — резонанс напряжений.

Ответ: Условием возникновения резонанса напряжений является равенство индуктивного и ёмкостного сопротивлений в последовательной RLC-цепи ($X_L = X_C$), что происходит на резонансной частоте $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$.

Резонанс токов

Резонанс токов, также известный как параллельный резонанс, возникает в электрической цепи, где резистор (R), катушка индуктивности (L) и конденсатор (C) соединены параллельно с источником переменного тока. Для анализа удобнее использовать понятие проводимости.
Условие возникновения резонанса токов заключается в равенстве реактивных проводимостей индуктивной и ёмкостной ветвей. Индуктивная проводимость $B_L$ обратно пропорциональна частоте $\omega$, а ёмкостная проводимость $B_C$ прямо пропорциональна ей:
$B_L = \frac{1}{\omega L}$
$B_C = \omega C$
Условие резонанса:
$B_L = B_C$
или
$\frac{1}{\omega L} = \omega C$
Резонансная угловая частота $\omega_0$ (и резонансная частота $f_0$) определяется той же формулой, что и для резонанса напряжений (в идеальном контуре без активного сопротивления в ветвях L и C):
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
$f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$
В режиме резонанса токов:
1. Реактивная составляющая полной проводимости цепи равна нулю. Полная проводимость цепи $Y = \sqrt{G^2 + (B_C - B_L)^2}$ (где $G=1/R$) становится минимальной и равной активной проводимости: $Y_{min} = G = \frac{1}{R}$.
2. Полное сопротивление (импеданс) цепи $Z = 1/Y$ достигает максимального значения: $Z_{max} = R$.
3. Общий ток, потребляемый цепью от источника, достигает минимального значения: $I_{min} = \frac{U}{Z_{max}} = \frac{U}{R}$.
4. Сдвиг фаз между напряжением источника и общим током в цепи равен нулю.
5. Токи в катушке индуктивности ($I_L = U/X_L$) и в конденсаторе ($I_C = U/X_C$) равны по величине, но противоположны по фазе (сдвинуты на 180°). Они компенсируют друг друга, и через источник протекает только активный ток, идущий через резистор.
6. Токи $I_L$ и $I_C$ могут быть значительно больше общего тока $\text{I}$ в неразветвленной части цепи, что и послужило причиной названия "резонанс токов".

Ответ: Условием возникновения резонанса токов является равенство индуктивной и ёмкостной проводимостей в параллельной RLC-цепи ($B_L = B_C$), что происходит на резонансной частоте $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$.