Номер 4, страница 38 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4. Катушка с активным сопротивлением $R = 2 \text{ Ом}$ и индуктивностью $L = 75 \text{ мГн}$ включена последовательно с конденсатором переменной емкости в сеть с действующим напряжением $U = 50 \text{ В}$ и частотой $\nu = 50 \text{ Гц}$. Определите емкость конденсатора $\text{C}$ при резонансе напряжений и значения напряжений на катушке $U_L$ и конденсаторе $U_C$ в этот момент.

Дано:

Активное сопротивление катушки: $R = 2$ Ом
Индуктивность катушки: $L = 75$ мГн
Действующее напряжение сети: $U = 50$ В
Частота сети: $\nu = 50$ Гц

$L = 75 \text{ мГн} = 75 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 0.075 \text{ Гн}$

Найти:

Емкость конденсатора: $C - ?$
Напряжение на катушке: $U_L - ?$
Напряжение на конденсаторе: $U_C - ?$

Решение:

Задача описывает последовательный RLC-контур. Резонанс напряжений в таком контуре наступает, когда индуктивное сопротивление $X_L$ становится равным емкостному сопротивлению $X_C$.
Условие резонанса напряжений:
$X_L = X_C$
Индуктивное и емкостное сопротивления определяются по формулам:
$X_L = \omega L = 2\pi\nu L$
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi\nu C}$
где $\omega$ — циклическая частота.
Приравняем выражения для сопротивлений, чтобы найти емкость конденсатора $\text{C}$:
$2\pi\nu L = \frac{1}{2\pi\nu C}$
Отсюда выразим емкость $\text{C}$:
$C = \frac{1}{(2\pi\nu)^2 L}$
Подставим числовые значения:
$C = \frac{1}{(2\pi \cdot 50 \text{ Гц})^2 \cdot 0.075 \text{ Гн}} = \frac{1}{(100\pi)^2 \cdot 0.075} = \frac{1}{10000\pi^2 \cdot 0.075} = \frac{1}{750\pi^2} \approx \frac{1}{750 \cdot 9.87} \approx \frac{1}{7402.5} \approx 1.35 \cdot 10^{-4} \text{ Ф}$
Переведем в микрофарады: $C \approx 135 \text{ мкФ}$.

При резонансе реактивные сопротивления ($X_L$ и $X_C$) компенсируют друг друга, и полное сопротивление цепи $\text{Z}$ становится минимальным, равным активному сопротивлению $\text{R}$:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + 0} = R = 2 \text{ Ом}$
Действующее значение тока в цепи при резонансе найдем по закону Ома для полной цепи:
$I = \frac{U}{Z} = \frac{U}{R} = \frac{50 \text{ В}}{2 \text{ Ом}} = 25 \text{ А}$

Теперь можем найти напряжения на катушке (на ее индуктивной части) и на конденсаторе. Сначала вычислим величину реактивных сопротивлений:
$X_L = 2\pi\nu L = 100\pi \cdot 0.075 = 7.5\pi \text{ Ом} \approx 23.56 \text{ Ом}$
Поскольку в цепи резонанс, $X_C = X_L \approx 23.56 \text{ Ом}$.
Напряжение на индуктивности катушки:
$U_L = I \cdot X_L = 25 \text{ А} \cdot 7.5\pi \text{ Ом} = 187.5\pi \text{ В} \approx 589 \text{ В}$
Напряжение на конденсаторе:
$U_C = I \cdot X_C = I \cdot X_L = 25 \text{ А} \cdot 7.5\pi \text{ Ом} \approx 589 \text{ В}$
Напряжения $U_L$ и $U_C$ равны по величине, но противоположны по фазе. Их значения значительно превышают напряжение источника, что является характерной чертой резонанса напряжений.

Ответ: емкость конденсатора $C \approx 135$ мкФ; напряжение на катушке $U_L \approx 589$ В; напряжение на конденсаторе $U_C \approx 589$ В.