Номер 2, страница 38 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

2. Резонанс в колебательном контуре с конденсатором $C_1 = 1 \text{ мкФ}$ наступает при частоте колебаний $400 \text{ Гц}$. Когда вместо конденсатора $C_1$ подключают конденсатор емкостью $C_2$, резонансная частота становится равной $100 \text{ Гц}$. Определите емкость второго конденсатора.

Дано:

$C_1 = 1 \text{ мкФ} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$f_1 = 400 \text{ Гц}$

$f_2 = 100 \text{ Гц}$

Найти:

$C_2$

Решение:

Резонансная частота колебательного контура определяется по формуле Томсона:

$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\text{L}$ — индуктивность катушки, а $\text{C}$ — емкость конденсатора.

В первом случае, когда в контуре используется конденсатор с емкостью $C_1$, резонансная частота равна $f_1$:

$f_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}$

Во втором случае, когда конденсатор $C_1$ заменяют на конденсатор $C_2$, резонансная частота становится равной $f_2$:

$f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}$

Так как катушка индуктивности в контуре не менялась, ее индуктивность $\text{L}$ в обоих случаях одинакова. Чтобы найти связь между емкостями и частотами, разделим первое уравнение на второе:

$\frac{f_1}{f_2} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}} = \frac{2\pi\sqrt{LC_2}}{2\pi\sqrt{LC_1}} = \sqrt{\frac{LC_2}{LC_1}} = \sqrt{\frac{C_2}{C_1}}$

Мы получили соотношение:

$\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{C_2}{C_1}}$

Чтобы выразить искомую емкость $C_2$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$\left(\frac{f_1}{f_2}\right)^2 = \frac{C_2}{C_1}$

Отсюда находим $C_2$:

$C_2 = C_1 \cdot \left(\frac{f_1}{f_2}\right)^2$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$C_2 = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot \left(\frac{400 \text{ Гц}}{100 \text{ Гц}}\right)^2 = 1 \cdot 10^{-6} \cdot (4)^2 = 1 \cdot 10^{-6} \cdot 16 = 16 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Переведем результат в микрофарады:

$16 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 16 \text{ мкФ}$

Ответ: емкость второго конденсатора равна $16 \text{ мкФ}$.