Эксперимент, страница 35 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Эксперимент

Соберите последовательную цепь, состоящую из генератора переменной частоты (4 В), резистора, катушки индуктивности (1 мГн) и конденсатора (1 мкФ). Параметры деталей цепи определяются диапазоном частот источника. Снимите осциллограмму с резистора и генератора сигнала переменной частоты. Напряжение, снятое с резистора дает информацию об изменении силы тока в цепи, так как на резисторе напряжение и сила тока изменяются синфазно.

На рисунках 29 а, б, в изображены осциллограммы красного цвета, которые представляют сигнал, снятый с генератора переменной частоты, и желтого цвета – сигнал с резистора. На рисунке 29 г изображена осциллограмма напряжения, снятого с конденсатора в режиме резонанса.

а) Частота сигнала 2 кГц. Колебания силы тока опережают колебания напряжения. При низких частотах в цепи преобладает емкостное сопротивление

б) Частота сигнала 4,78 кГц. Индуктивное сопротивление равно емкостному, наблюдается резонанс. Колебания напряжения и силы тока совпадают по фазе, амплитуда силы тока возрастает

в) Частота сигнала 7,2 кГц. Колебания напряжения опережают колебания силы тока. При высоких частотах в цепи преобладает индуктивное сопротивление

г) Напряжение на конденсаторе и катушке индуктивности в режиме резонанса составляет 10В, что превышает входное напряжение.

Рис. 29. Резонанс напряжений в последовательной цепи переменного тока

Дано:

Амплитудное напряжение генератора: $U_m = 4 \text{ В}$

Индуктивность катушки: $L = 1 \text{ мГн}$

Емкость конденсатора: $C = 1 \text{ мкФ}$

Напряжение на конденсаторе/катушке в резонансе: $U_{m,LC} = 10 \text{ В}$

Экспериментальная резонансная частота (из рис. б): $f_{рез, эксп} = 4.78 \text{ кГц}$

Перевод в систему СИ:

$L = 1 \times 10^{-3} \text{ Гн}$

$C = 1 \times 10^{-6} \text{ Ф}$

$f_{рез, эксп} = 4.78 \times 10^3 \text{ Гц}$

Найти:

В рамках данного ответа мы проведем анализ и проверку данных, представленных в описании эксперимента. Мы рассчитаем теоретическую резонансную частоту и сравним ее с экспериментальной, проверим характер цепи на разных частотах, а также определим неизвестный параметр — сопротивление резистора R, и проверим согласованность данных.

Решение:

1. Расчет теоретической резонансной частоты

Теоретическая резонансная частота $f_0$ для последовательного RLC-контура определяется по формуле Томсона:

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Подставим данные значения L и C:

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 \times 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 1 \times 10^{-6} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-9}} \text{ с}} \approx \frac{1}{2\pi \cdot 3.162 \times 10^{-5} \text{ с}} \approx 5033 \text{ Гц} = 5.03 \text{ кГц}$

Экспериментальное значение резонансной частоты, указанное на рисунке б, составляет $f_{рез, эксп} = 4.78 \text{ кГц}$. Расхождение между теоретическим и экспериментальным значениями составляет около 5%. Это расхождение может быть вызвано неточностью номинальных значений индуктивности и емкости реальных компонентов.

Ответ: Теоретическая резонансная частота составляет примерно $5.03 \text{ кГц}$, что близко к экспериментальному значению $4.78 \text{ кГц}$.

2. Анализ характера цепи на частотах ниже и выше резонансной

Проверим утверждения, сделанные в подписях к рисункам а) и в).

Случай а): Частота $f_a = 2 \text{ кГц}$ (ниже резонансной)

Рассчитаем емкостное и индуктивное сопротивления:

Емкостное сопротивление: $X_C = \frac{1}{2\pi f_a C} = \frac{1}{2\pi \cdot 2 \cdot 10^3 \cdot 10^{-6}} \approx 79.6 \text{ Ом}$

Индуктивное сопротивление: $X_L = 2\pi f_a L = 2\pi \cdot 2 \cdot 10^3 \cdot 10^{-3} \approx 12.6 \text{ Ом}$

Поскольку $X_C > X_L$, в цепи преобладает емкостное сопротивление. В этом случае ток опережает по фазе напряжение, что полностью соответствует описанию на рисунке а.

Случай в): Частота $f_в = 7.2 \text{ кГц}$ (выше резонансной)

Рассчитаем емкостное и индуктивное сопротивления:

Емкостное сопротивление: $X_C = \frac{1}{2\pi f_в C} = \frac{1}{2\pi \cdot 7.2 \cdot 10^3 \cdot 10^{-6}} \approx 22.1 \text{ Ом}$

Индуктивное сопротивление: $X_L = 2\pi f_в L = 2\pi \cdot 7.2 \cdot 10^3 \cdot 10^{-3} \approx 45.2 \text{ Ом}$

Поскольку $X_L > X_C$, в цепи преобладает индуктивное сопротивление. В этом случае напряжение опережает по фазе ток, что полностью соответствует описанию на рисунке в.

Ответ: Расчеты подтверждают, что на частоте 2 кГц цепь имеет емкостный характер, а на частоте 7.2 кГц — индуктивный, как и указано в описании эксперимента.

3. Определение сопротивления резистора R

Сопротивление резистора R в условии задачи не указано. Однако его можно определить, используя данные для режима резонанса. В режиме резонанса напряжение на реактивных элементах (катушке и конденсаторе) может значительно превышать напряжение источника. Это отношение называется добротностью контура Q.

$Q = \frac{U_{m,L}}{U_m} = \frac{U_{m,C}}{U_m}$

Используя данные из условия (рис. г), получаем:

$Q = \frac{10 \text{ В}}{4 \text{ В}} = 2.5$

С другой стороны, добротность теоретически связана с параметрами контура:

$Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$

Отсюда можно выразить сопротивление R:

$R = \frac{1}{Q}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{2.5}\sqrt{\frac{1 \times 10^{-3}}{1 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{2.5}\sqrt{1000} \approx \frac{31.62}{2.5} \approx 12.65 \text{ Ом}$

Ответ: Расчетное сопротивление резистора в цепи составляет приблизительно $12.65 \text{ Ом}$.

4. Проверка согласованности данных в режиме резонанса

Используя найденное значение сопротивления $R \approx 12.65 \text{ Ом}$, проверим, действительно ли напряжение на конденсаторе и катушке будет равно 10 В при экспериментальной резонансной частоте $f_{рез, эксп} = 4.78 \text{ кГц}$.

В режиме резонанса полное сопротивление цепи равно активному сопротивлению, $Z=R$. Амплитуда тока в цепи:

$I_m = \frac{U_m}{R} = \frac{4 \text{ В}}{12.65 \text{ Ом}} \approx 0.316 \text{ А}$

Теперь найдем амплитудные значения напряжений на катушке и конденсаторе при этой частоте:

Напряжение на катушке:

$X_L = 2\pi f_{рез, эксп} L = 2\pi \cdot 4.78 \cdot 10^3 \cdot 10^{-3} \approx 30.03 \text{ Ом}$

$U_{m,L} = I_m \cdot X_L = 0.316 \text{ А} \cdot 30.03 \text{ Ом} \approx 9.49 \text{ В}$

Напряжение на конденсаторе:

$X_C = \frac{1}{2\pi f_{рез, эксп} C} = \frac{1}{2\pi \cdot 4.78 \cdot 10^3 \cdot 10^{-6}} \approx 33.30 \text{ Ом}$

$U_{m,C} = I_m \cdot X_C = 0.316 \text{ А} \cdot 33.30 \text{ Ом} \approx 10.52 \text{ В}$

Полученные значения напряжений ($9.49 \text{ В}$ и $10.52 \text{ В}$) близки к 10 В. Их среднее значение $(9.49 + 10.52)/2 \approx 10.0 \text{ В}$, что точно соответствует значению из условия. Небольшое расхождение между $U_{m,L}$ и $U_{m,C}$ объясняется тем, что экспериментальная резонансная частота (соответствующая максимуму тока) не точно совпадает с частотой, где $X_L=X_C$, из-за допусков реальных компонентов.

Ответ: Данные, представленные в описании эксперимента, являются согласованными. Расчетное напряжение на реактивных элементах в режиме резонанса близко к 10 В, что подтверждает явление резонанса напряжений.