Номер 3, страница 38 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3. Реостат с активным сопротивлением $R = 100\ \text{Ом}$, катушка с индуктивностью $L = 5\ \text{мГн}$ и конденсатор емкостью $C = 0,05\ \text{мкФ}$ соединены последовательно. Вычислите резонансную частоту, максимальные значения напряжения на конденсаторе и катушке при резонансной частоте. Действующее напряжение во всех участках цепи, равно $U = 10\ \text{В}$.

Дано:

Активное сопротивление $R = 100 \text{ Ом}$

Индуктивность $L = 5 \text{ мГн}$

Емкость $C = 0,05 \text{ мкФ}$

Действующее (RMS) напряжение в цепи $U = 10 \text{ В}$

Переведем значения в систему СИ:

$L = 5 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

$C = 0,05 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 5 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}$

Найти:

Резонансную частоту $f_{рез}$

Максимальное напряжение на катушке $U_{Lmax}$

Максимальное напряжение на конденсаторе $U_{Cmax}$

Решение:

Вычисление резонансной частоты

Резонанс в последовательной RLC-цепи наступает при условии равенства индуктивного и емкостного сопротивлений ($X_L = X_C$). Это приводит к формуле Томсона для резонансной угловой частоты $\omega_{рез}$:

$\omega_{рез} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Подставим числовые значения:

$\omega_{рез} = \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 5 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}}} = \frac{1}{\sqrt{25 \cdot 10^{-11} \text{ с}^2}} = \frac{1}{\sqrt{2.5 \cdot 10^{-10} \text{ с}^2}} \approx 63246 \text{ рад/с}$

Циклическая частота $f_{рез}$ связана с угловой частотой соотношением $f_{рез} = \frac{\omega_{рез}}{2\pi}$.

$f_{рез} = \frac{63246 \text{ рад/с}}{2\pi} \approx 10065 \text{ Гц} \approx 10.1 \text{ кГц}$

Ответ: Резонансная частота составляет $f_{рез} \approx 10.1 \text{ кГц}$.

Вычисление максимальных значений напряжения на конденсаторе и катушке

При резонансе полное сопротивление цепи (импеданс) $\text{Z}$ минимально и равно активному сопротивлению $\text{R}$, так как реактивные сопротивления $X_L$ и $X_C$ взаимно компенсируются.

$Z = R = 100 \text{ Ом}$

Действующее значение тока в цепи при резонансе находим по закону Ома для переменного тока:

$I = \frac{U}{Z} = \frac{U}{R} = \frac{10 \text{ В}}{100 \text{ Ом}} = 0.1 \text{ А}$

Максимальное (амплитудное) значение тока связано с действующим значением соотношением $I_{max} = I \cdot \sqrt{2}$.

$I_{max} = 0.1 \cdot \sqrt{2} \text{ А}$

Найдем индуктивное сопротивление $X_L$ на резонансной частоте:

$X_L = \omega_{рез} L \approx 63246 \text{ рад/с} \cdot 5 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \approx 316.2 \text{ Ом}$

В условиях резонанса емкостное сопротивление равно индуктивному: $X_C = X_L \approx 316.2 \text{ Ом}$.

Максимальные значения напряжения на катушке ($U_{Lmax}$) и конденсаторе ($U_{Cmax}$) равны произведению максимального тока на соответствующее реактивное сопротивление:

$U_{Lmax} = I_{max} \cdot X_L = (0.1 \sqrt{2} \text{ А}) \cdot 316.2 \text{ Ом} \approx 44.7 \text{ В}$

$U_{Cmax} = I_{max} \cdot X_C = (0.1 \sqrt{2} \text{ А}) \cdot 316.2 \text{ Ом} \approx 44.7 \text{ В}$

Для более точного расчета можно найти $X_L$ по формуле $X_L = \sqrt{\frac{L}{C}}$:

$X_L = \sqrt{\frac{5 \cdot 10^{-3}}{5 \cdot 10^{-8}}} = \sqrt{10^5} = 100\sqrt{10} \text{ Ом}$

Тогда:

$U_{Lmax} = U_{Cmax} = I_{max} \cdot X_L = (0.1\sqrt{2}) \cdot (100\sqrt{10}) = 10\sqrt{20} = 20\sqrt{5} \text{ В} \approx 44.72 \text{ В}$

Ответ: Максимальные значения напряжения на конденсаторе и катушке при резонансной частоте равны и составляют $U_{Lmax} = U_{Cmax} \approx 44.7 \text{ В}$.