Номер 14, страница 192 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $c$, проходящей через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер (сторона основания и высота) $a = 1$ см.

Ось вращения $c$ проходит через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Перевод в СИ:
Длина ребра $a = 0.01$ м.
Высота призмы $h = 0.01$ м.

Найти:

Объем тела вращения $V$ и площадь его поверхности $S$.

Решение:

Тело вращения образуется при вращении правильной шестиугольной призмы вокруг прямой, проходящей через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$. Обозначим эти середины как $M$ и $M_1$. Ось вращения - это прямая $MM_1$. Высота призмы равна длине ее бокового ребра, то есть $h = a = 1$ см.

Призма является выпуклым телом. Ось вращения $MM_1$ проходит через точки на ее боковой грани $BCC_1B_1$. Это означает, что тело вращения будет представлять собой сплошной цилиндр. Высота этого цилиндра будет равна высоте призмы $h=1$ см. Радиус основания цилиндра $R$ будет равен максимальному расстоянию от точек призмы до оси вращения $MM_1$.

Чтобы найти этот максимальный радиус, рассмотрим основание призмы - правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$ см. Ось вращения проецируется на плоскость основания в точку $M$ - середину стороны $BC$. Нам нужно найти расстояние от точки $M$ до самой дальней точки шестиугольника.

Введем на плоскости основания систему координат с началом в точке $M$. Направим ось $Ox$ вдоль прямой $BC$. В этой системе координат точка $M$ имеет координаты $(0, 0)$. Поскольку $M$ - середина $BC$ и $BC=1$ см, то вершины $B$ и $C$ имеют координаты $B(-1/2, 0)$ и $C(1/2, 0)$.

Центр шестиугольника $O$ находится на перпендикуляре к $BC$, восстановленном из точки $M$. Расстояние $MO$ равно апофеме правильного шестиугольника: $MO = a \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, координаты центра $O$ это $(0, \sqrt{3}/2)$.

Найдем координаты остальных вершин. Расстояние от центра правильного шестиугольника до любой его вершины равно стороне $a=1$.

Координаты вершины $A$: Вектор $\vec{OA}$ можно получить, зная вектор $\vec{OB} = B - O = (-1/2, -\sqrt{3}/2)$. Вектор $\vec{OA}$ получается поворотом вектора $\vec{OB}$ на $60^\circ$ против часовой стрелки относительно центра $O$. Но проще найти его как $O + \vec{v}$, где $\vec{v}$ имеет длину 1 и образует с вектором $\vec{OC}$ угол $120^\circ$. Координаты $A$ можно найти как $A(-1, \sqrt{3}/2)$.

Координаты вершины $D$: Симметрична $A$ относительно оси $Oy$, поэтому $D(1, \sqrt{3}/2)$.

Координаты вершины $E$: Вершина $E$ противоположна $B$. Вектор $\vec{OE} = -\vec{OB} = -(-1/2, -\sqrt{3}/2) = (1/2, \sqrt{3}/2)$. Тогда координаты $E = O + \vec{OE} = (0, \sqrt{3}/2) + (1/2, \sqrt{3}/2) = (1/2, \sqrt{3})$.

Координаты вершины $F$: Вершина $F$ противоположна $C$. Вектор $\vec{OF} = -\vec{OC} = -(1/2, -\sqrt{3}/2) = (-1/2, \sqrt{3}/2)$. Тогда координаты $F = O + \vec{OF} = (0, \sqrt{3}/2) + (-1/2, \sqrt{3}/2) = (-1/2, \sqrt{3})$.

Теперь вычислим квадраты расстояний от оси вращения (точки $M(0,0)$) до всех вершин шестиугольника, чтобы найти максимальное:

$r_A^2 = (-1)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

$r_B^2 = (-1/2)^2 + 0^2 = \frac{1}{4}$

$r_C^2 = (1/2)^2 + 0^2 = \frac{1}{4}$

$r_D^2 = 1^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

$r_E^2 = (1/2)^2 + (\sqrt{3})^2 = \frac{1}{4} + 3 = \frac{13}{4}$

$r_F^2 = (-1/2)^2 + (\sqrt{3})^2 = \frac{1}{4} + 3 = \frac{13}{4}$

Максимальное расстояние соответствует вершинам $E$ и $F$. Следовательно, радиус $R$ цилиндра, образующегося при вращении, равен $R = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$ см.

Объем тела вращения

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$.

Подставляем найденные значения $R = \frac{\sqrt{13}}{2}$ см и $h=1$ см:

$V = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{13}{4} = \frac{13\pi}{4}$ см$^3$.

Ответ: $V = \frac{13\pi}{4}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности: $S = 2S_{осн} + S_{бок} = 2(\pi R^2) + 2\pi R h$.

Подставляем наши значения:

$S = 2 \cdot \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2 + 2\pi \cdot \frac{\sqrt{13}}{2} \cdot 1 = 2 \cdot \pi \cdot \frac{13}{4} + \pi\sqrt{13} = \frac{13\pi}{2} + \pi\sqrt{13} = \pi \left(\frac{13}{2} + \sqrt{13}\right)$ см$^2$.

Ответ: $S = \pi \left(\frac{13}{2} + \sqrt{13}\right)$ см$^2$.