Номер 9, страница 192 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, вокруг прямой, содержащей высоту $SH$ этой пирамиды.

Дано:
Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF
Сторона основания, $a = 1$ см
Боковое ребро, $l = 2$ см

Найти:
Объем тела вращения, $V$
Площадь поверхности тела вращения, $S$

Решение:
Тело, полученное при вращении правильной шестиугольной пирамиды вокруг своей высоты $SH$, является конусом.

Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды S. Основание конуса — это круг, описанный около основания пирамиды (правильного шестиугольника $ABCDEF$).

Радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около правильного шестиугольника. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне. Таким образом:
$R = a = 1$ см.

Образующая конуса $L$ равна боковому ребру пирамиды:
$L = l = 2$ см.

Высота конуса $H$ равна высоте пирамиды $SH$. Найдем ее из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$ (которая является гипотенузой). По теореме Пифагора:
$L^2 = H^2 + R^2$
$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ см.

Объем тела вращения
Объем тела вращения равен объему полученного конуса, который вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$
Подставляем найденные значения:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (1)^2 \cdot \sqrt{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см³.
Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения
Площадь поверхности тела вращения равна площади полной поверхности конуса. Она состоит из площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):
$S = S_{осн} + S_{бок}$
Площадь основания конуса:
$S_{осн} = \pi R^2 = \pi \cdot (1)^2 = \pi$ см².
Площадь боковой поверхности конуса:
$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot 1 \cdot 2 = 2\pi$ см².
Следовательно, площадь полной поверхности равна:
$S = S_{осн} + S_{бок} = \pi + 2\pi = 3\pi$ см².
Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $3\pi$ см².