Номер 7, страница 192 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного тетраэдра ABCD вокруг прямой, содержащей высоту DH этого тетраэдра.

Дано:
Правильный тетраэдр $ABCD$.
Длина ребра $a = 1$ (единичный тетраэдр).
Ось вращения — прямая, содержащая высоту тетраэдра $DH$.

Найти:
Объем тела вращения $V$.
Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Тело, полученное вращением правильного тетраэдра $ABCD$ вокруг его высоты $DH$, представляет собой конус. Вершина тетраэдра $D$ является вершиной конуса. Основание конуса — это круг, который описывают вершины $A, B, C$ при вращении.

Для нахождения объема и площади поверхности этого конуса необходимо определить его основные параметры: радиус основания $R$, высоту $H$ и образующую $l$.

Образующая конуса $l$ равна длине бокового ребра тетраэдра. Так как тетраэдр единичный, $l = a = 1$.

Радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около основания тетраэдра — равностороннего треугольника $ABC$. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
$R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Высота конуса $H$ совпадает с высотой тетраэдра $DH$. Ее можно найти из прямоугольного треугольника $ADH$, где $AD$ — гипотенуза ($l$), $AH$ — катет ($R$), и $DH$ — второй катет ($H$).
По теореме Пифагора: $H^2 + R^2 = l^2$.
$H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Объем
Объем тела вращения — это объем конуса, который вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.
Подставим найденные значения $R = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $H = \frac{\sqrt{6}}{3}$:
$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{3}{9}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{\pi\sqrt{6}}{27}$.
Ответ: $V = \frac{\pi\sqrt{6}}{27}$.

Площадь поверхности
Площадь поверхности тела вращения — это площадь полной поверхности конуса. Она складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.
$S = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R l$.
Площадь основания: $S_{осн} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \pi \frac{3}{9} = \frac{\pi}{3}$.
Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi R l = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{3}$.
Полная площадь поверхности: $S = S_{осн} + S_{бок} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi(1+\sqrt{3})}{3}$.
Ответ: $S = \frac{\pi(1+\sqrt{3})}{3}$.