Номер 3, страница 191 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Найти объем и площадь поверхности тела вращения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $AA_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$ см.

Ось вращения - прямая $AA_1$.

Длина ребра $a = 0.01$ м.

Найти:

1. Объем тела вращения $V$.

2. Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Тело вращения образуется при вращении правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ вокруг ее бокового ребра $AA_1$.

Поскольку призма правильная, ее основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками, а боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований. По условию, все ребра равны 1 см, значит, сторона основания $AB = BC = CA = 1$ см, и высота призмы $h = AA_1 = 1$ см.

Ось вращения $AA_1$ проходит через вершины $A$ и $A_1$ призмы.

Чтобы определить форму тела вращения, рассмотрим его поперечное сечение, перпендикулярное оси вращения $AA_1$. Такое сечение образуется вращением соответствующего сечения призмы. Сечением призмы на любой высоте $z$ ($0 \le z \le 1$) является равносторонний треугольник, равный основанию $ABC$.

При вращении этого треугольного сечения вокруг вершины, лежащей на оси $AA_1$, образуется круг. Радиус этого круга равен максимальному расстоянию от точек треугольника до вершины, лежащей на оси. В равностороннем треугольнике со стороной 1 см максимальное расстояние от одной вершины до любой точки треугольника достигается в двух других вершинах и равно длине стороны, то есть 1 см.

Таким образом, поперечное сечение тела вращения на любой высоте является кругом радиусом $R = 1$ см. Тело, имеющее постоянное круглое сечение по всей высоте, является цилиндром. Высота этого цилиндра равна высоте призмы $h = 1$ см, а радиус его основания $R = 1$ см.

Объем тела вращения

Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V = \pi R^2 h$

Подставляя значения $R=1$ см и $h=1$ см, получаем:

$V = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 \cdot 1 \text{ см} = \pi \text{ см}^3$

Ответ: $V = \pi \text{ см}^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности полученного цилиндра складывается из площади двух оснований (верхнего и нижнего) и площади боковой поверхности.

Площадь одного основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi R h$.

Площадь полной поверхности $S$ равна:

$S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \pi R^2 + 2 \pi R h$

Подставляя значения $R=1$ см и $h=1$ см, получаем:

$S = 2 \pi (1 \text{ см})^2 + 2 \pi (1 \text{ см})(1 \text{ см}) = 2\pi \text{ см}^2 + 2\pi \text{ см}^2 = 4\pi \text{ см}^2$

Эта поверхность формируется вращением поверхности исходной призмы. Нижнее основание цилиндра (круг площадью $\pi$) образуется вращением треугольника $ABC$. Верхнее основание (также круг площадью $\pi$) образуется вращением треугольника $A_1B_1C_1$. Боковая поверхность цилиндра (площадью $2\pi$) образуется вращением ребер $BB_1$ и $CC_1$, которые наиболее удалены от оси вращения $AA_1$.

Ответ: $S = 4\pi \text{ см}^2$.