Номер 22, страница 191 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной 1 см вокруг прямой $AC$.

Дано:

Правильный шестиугольник $ABCDEF$

Сторона шестиугольника $a = 1$ см

Ось вращения — прямая $AC$

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

Сначала определим некоторые геометрические параметры шестиугольника, которые понадобятся для дальнейших расчетов.

Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120°$. Следовательно, в треугольнике $ABC$ имеем $AB = BC = 1$ см и $\angle ABC = 120°$.

Найдем длину диагонали $AC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120°) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$

$AC = \sqrt{3}$ см.

Объем тела вращения

Для нахождения объема тела вращения воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина: объем тела вращения равен произведению площади вращаемой фигуры на длину окружности, которую описывает ее центроид (центр масс).

$V = 2\pi \cdot A \cdot d_c$

где $A$ — площадь правильного шестиугольника, а $d_c$ — расстояние от его центроида до оси вращения $AC$.

1. Найдем площадь шестиугольника $A$.

Правильный шестиугольник со стороной $a$ состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

$A = 6 \cdot \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см².

2. Найдем расстояние $d_c$.

Центроидом правильного шестиугольника является его геометрический центр $O$. Расстояние $d_c$ — это расстояние от точки $O$ до прямой $AC$. Это расстояние равно высоте $OH$, опущенной из вершины $O$ на основание $AC$ в равнобедренном треугольнике $OAC$.

В $\triangle OAC$ стороны $OA = OC = 1$ см (как радиусы описанной окружности, равные стороне шестиугольника), а основание $AC = \sqrt{3}$ см. Высота $OH$ также является медианой, поэтому точка $H$ — середина $AC$, и $AH = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $OHA$:

$d_c = OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ см.

3. Вычислим объем $V$.

$V = 2\pi \cdot A \cdot d_c = 2\pi \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\pi\sqrt{3}}{2}$ см³.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{3\pi\sqrt{3}}{2}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения образуется при вращении сторон шестиугольника $AB, BC, CD, DE, EF, FA$ вокруг оси $AC$. Она равна сумме площадей боковых поверхностей конусов и усеченных конусов, которые образуют стороны при вращении.

Площадь боковой поверхности тела, образованного вращением отрезка (образующей) длиной $l$, вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi(r_1 + r_2)l$, где $r_1$ и $r_2$ — радиусы вращения концов отрезка (расстояния от концов отрезка до оси вращения).

Длина каждой стороны шестиугольника $l=a=1$ см. Найдем радиусы вращения для каждой вершины.

Вершины $A$ и $C$ лежат на оси вращения, поэтому их радиусы вращения равны нулю: $r_A = 0$, $r_C = 0$.

1. Найдем радиусы вращения вершин $B, D, E, F$.

• $r_B$: Радиус вращения вершины $B$ — это ее расстояние до прямой $AC$, то есть высота треугольника $ABC$, опущенная из $B$. Площадь $\triangle ABC = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin(120°) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$. С другой стороны, $S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot r_B = \frac{1}{2}\sqrt{3} \cdot r_B$. Отсюда $r_B = \frac{1}{2}$ см.

• $r_D$: Рассмотрим $\triangle ACD$. Его стороны: $AC=\sqrt{3}$, $CD=1$, $AD=2$ (длинная диагональ шестиугольника). Так как $(\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3+1=4=2^2$, то есть $AC^2 + CD^2 = AD^2$, $\triangle ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Следовательно, расстояние от точки $D$ до прямой $AC$ равно длине катета $CD$. $r_D = 1$ см.

• $r_F$: Аналогично, в $\triangle AFC$ стороны $AF=1$, $AC=\sqrt{3}$, $FC=2$. Угол $\angle CAB = \frac{180°-120°}{2} = 30°$. Угол $\angle FAB = 120°$. Тогда $\angle FAC = \angle FAB - \angle CAB = 120° - 30° = 90°$. Таким образом, $\triangle FAC$ прямоугольный, и расстояние от $F$ до прямой $AC$ равно длине катета $AF$. $r_F = 1$ см.

• $r_E$: Вершина $E$ диаметрально противоположна вершине $B$ относительно центра $O$. Центр $O$ находится на расстоянии $d_c=1/2$ от оси $AC$, а вершина $B$ на расстоянии $r_B=1/2$ (по одну сторону от прямой, проходящей через $O$ параллельно $AC$). Значит, $E$ находится на расстоянии $r_E = d_c + (d_c+r_B-d_c) = 2d_c+r_B-d_c$. Это сложно. Проще: расстояние от E до AC равно $r_E = r_F + r_B = 1 + 1/2 = 3/2$ см. Это можно показать, спроецировав вершины на прямую, перпендикулярную оси вращения. Или из координат: если $A(0,0)$, $C(\sqrt{3},0)$, то $E(\sqrt{3}/2, -3/2)$, откуда $r_E=3/2$.

Итак, радиусы вращения вершин:

$r_A = 0$, $r_B = 1/2$, $r_C = 0$, $r_D = 1$, $r_E = 3/2$, $r_F = 1$.

2. Вычислим площади поверхностей, образованных каждой стороной ($l=1$).

$S_{AB} = \pi(r_A + r_B)l = \pi(0 + \frac{1}{2}) \cdot 1 = \frac{\pi}{2}$

$S_{BC} = \pi(r_B + r_C)l = \pi(\frac{1}{2} + 0) \cdot 1 = \frac{\pi}{2}$

$S_{CD} = \pi(r_C + r_D)l = \pi(0 + 1) \cdot 1 = \pi$

$S_{DE} = \pi(r_D + r_E)l = \pi(1 + \frac{3}{2}) \cdot 1 = \frac{5\pi}{2}$

$S_{EF} = \pi(r_E + r_F)l = \pi(\frac{3}{2} + 1) \cdot 1 = \frac{5\pi}{2}$

$S_{FA} = \pi(r_F + r_A)l = \pi(1 + 0) \cdot 1 = \pi$

3. Найдем общую площадь поверхности $S$.

$S = S_{AB} + S_{BC} + S_{CD} + S_{DE} + S_{EF} + S_{FA} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \pi + \frac{5\pi}{2} + \frac{5\pi}{2} + \pi$

$S = \pi + 2\pi + \frac{10\pi}{2} = 3\pi + 5\pi = 8\pi$ см².

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $8\pi$ см².