Номер 24, страница 191 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной 1 см вокруг прямой $c$, проходящей через середины сторон $AB$ и $DE$.

Дано:
Правильный шестиугольник $ABCDEF$.
Сторона шестиугольника $a = 1 \text{ см}$.
Ось вращения $c$ — прямая, проходящая через середины сторон $AB$ и $DE$.

Перевод в систему СИ:
$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:
Объем тела вращения $V$.
Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Для решения задачи разместим шестиугольник в декартовой системе координат. Пусть ось вращения $c$ совпадает с осью абсцисс ($Ox$), а центр шестиугольника — с началом координат $O(0,0)$.

Ось вращения соединяет середины противоположных сторон $AB$ и $DE$. В правильном шестиугольнике эта линия является осью симметрии и проходит через его центр. Расстояние от центра до середины любой стороны (апофема) равно $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, середина стороны $AB$ (точка $M$) и середина стороны $DE$ (точка $N$) будут иметь координаты $M(-\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $N(\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Поскольку ось вращения проходит через середины сторон $AB$ и $DE$, эти стороны перпендикулярны оси вращения. Зная, что длина этих сторон равна $a$, и их середины лежат на оси $Ox$, найдем координаты вершин $A, B, D, E$ при $a=1$ см:
$A(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$, $B(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$
$D(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$, $E(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$

Остальные вершины $C$ и $F$ найдем, зная, что внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$ и длина стороны равна $a$. Сторона $BC$ должна составлять с вертикальной стороной $AB$ угол $120^\circ$, то есть $30^\circ$ с горизонталью. Координаты вершины $C$ относительно $B$: $x_C = x_B + a \cos(30^\circ) = -\frac{a\sqrt{3}}{2} + a \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$; $y_C = y_B + a \sin(30^\circ) = \frac{a}{2} + a \frac{1}{2} = a$. Таким образом, $C(0, a)$.
Вершина $F$ симметрична вершине $C$ относительно оси $Ox$, поэтому $F(0, -a)$.

Объем тела вращения

Объем тела вращения найдем с помощью метода дисков. Объем тела, образованного вращением вокруг оси $Ox$ фигуры, ограниченной сверху графиком функции $y=f(x)$, вычисляется по формуле $V = \pi \int_{x_1}^{x_2} [f(x)]^2 dx$.

Верхняя граница шестиугольника задается ломаной $BCD$. В силу симметрии тела относительно плоскости $yOz$ ($x=0$), можем разбить интеграл на две части:
1. Отрезок $BC$: $B(-\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2})$ и $C(0, a)$. Уравнение прямой: $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + a$.
2. Отрезок $CD$: $C(0, a)$ и $D(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2})$. Уравнение прямой: $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + a$.
Так как шестиугольник симметричен относительно оси $Ox$, его объем равен объему тела, полученного вращением его верхней половины.

$V = \pi \int_{-a\sqrt{3}/2}^{0} (\frac{1}{\sqrt{3}}x + a)^2 dx + \pi \int_{0}^{a\sqrt{3}/2} (a - \frac{1}{\sqrt{3}}x)^2 dx$

В силу симметрии, эти два интеграла равны. Вычислим второй и удвоим результат:$V = 2\pi \int_{0}^{a\sqrt{3}/2} (a - \frac{x}{\sqrt{3}})^2 dx = 2\pi \int_{0}^{a\sqrt{3}/2} (a^2 - \frac{2ax}{\sqrt{3}} + \frac{x^2}{3}) dx$

$V = 2\pi \left[ a^2x - \frac{2a}{\sqrt{3}}\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{9} \right]_0^{a\sqrt{3}/2} = 2\pi \left( a^2\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a}{\sqrt{3}}\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \frac{1}{9}\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^3 \right)$

$V = 2\pi \left( \frac{a^3\sqrt{3}}{2} - \frac{a}{\sqrt{3}}\frac{3a^2}{4} + \frac{3a^3\sqrt{3}}{9 \cdot 8} \right) = 2\pi \left( \frac{a^3\sqrt{3}}{2} - \frac{a^3\sqrt{3}}{4} + \frac{a^3\sqrt{3}}{24} \right)$

$V = 2\pi a^3\sqrt{3} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{24} \right) = 2\pi a^3\sqrt{3} \left( \frac{12-6+1}{24} \right) = 2\pi a^3\sqrt{3} \frac{7}{24} = \frac{7\pi a^3\sqrt{3}}{12}$

Подставляя $a=1 \text{ см}$, получаем: $V = \frac{7\pi \sqrt{3}}{12} \text{ см}^3$.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{7\pi \sqrt{3}}{12} \text{ см}^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Поверхность тела вращения состоит из боковой (криволинейной) поверхности и двух плоских оснований (торцов).

1. Плоские основания. Они образуются при вращении отрезков $AB$ и $DE$ вокруг оси $Ox$. Так как эти отрезки перпендикулярны оси вращения и имеют длину $a$, а их середины лежат на оси, то при вращении каждый из них образует круг радиусом $r = a/2$. Площадь одного такого круга равна $\pi r^2 = \pi (a/2)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$. Так как у тела два таких основания, их суммарная площадь:$S_{осн} = 2 \cdot \frac{\pi a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{2}$.

2. Боковая поверхность. Она образуется вращением отрезков $BC, CD, EF, FA$. Для нахождения площади поверхности, образованной вращением отрезка, используем первую теорему Паппа-Гульдина: $S = 2\pi \bar{y} L$, где $L$ — длина отрезка, а $\bar{y}$ — расстояние от его центра тяжести (середины) до оси вращения.

Для отрезка $BC$ ($B(-\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2}), C(0, a)$):
Длина $L_{BC} = a$.
Координаты середины: $(\frac{-a\sqrt{3}/2+0}{2}, \frac{a/2+a}{2}) = (-\frac{a\sqrt{3}}{4}, \frac{3a}{4})$.
Расстояние до оси $Ox$: $\bar{y} = \frac{3a}{4}$.
Площадь $S_{BC} = 2\pi \cdot \frac{3a}{4} \cdot a = \frac{3\pi a^2}{2}$.

Для отрезка $CD$ ($C(0, a), D(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2})$):
Длина $L_{CD} = a$.
Координаты середины: $(\frac{0+a\sqrt{3}/2}{2}, \frac{a+a/2}{2}) = (\frac{a\sqrt{3}}{4}, \frac{3a}{4})$.
Расстояние до оси $Ox$: $\bar{y} = \frac{3a}{4}$.
Площадь $S_{CD} = 2\pi \cdot \frac{3a}{4} \cdot a = \frac{3\pi a^2}{2}$.

Отрезки $FA$ и $EF$ симметричны отрезкам $BC$ и $CD$ относительно оси вращения, поэтому они образуют поверхности с такими же площадями: $S_{FA} = S_{BC}$ и $S_{EF} = S_{CD}$.

Суммарная площадь боковой поверхности:$S_{бок} = S_{BC} + S_{CD} + S_{EF} + S_{FA} = 4 \cdot \frac{3\pi a^2}{2} = 6\pi a^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения:$S = S_{осн} + S_{бок} = \frac{\pi a^2}{2} + 6\pi a^2 = \frac{13\pi a^2}{2}$.

Подставляя $a=1 \text{ см}$, получаем: $S = \frac{13\pi}{2} \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\frac{13\pi}{2} \text{ см}^2$.