Номер 21, страница 191 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Найти объем и площадь поверхности тела вращения правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 1 см вокруг прямой AB.

Дано:

Правильный шестиугольник $ABCDEF$

Сторона шестиугольника $a = 1$ см

Ось вращения — прямая $AB$

Найти:

1. Объем тела вращения $V$.

2. Площадь поверхности тела вращения $S$.

Решение:

Для решения задачи расположим шестиугольник в декартовой системе координат. Пусть ось вращения, проходящая через сторону $AB$, совпадает с осью абсцисс ($Ox$). Вершину $A$ поместим в начало координат $(0,0)$, тогда вершина $B$ будет иметь координаты $(1,0)$.

Поскольку шестиугольник правильный, все его стороны равны $1$ см, а все внутренние углы равны $120^\circ$.

Тело вращения образуется вращением плоской фигуры (шестиугольника) вокруг оси, лежащей в той же плоскости. Объем и площадь поверхности этого тела можно найти, разбив его на более простые геометрические тела.

Объем тела вращения

Для нахождения объема воспользуемся второй теоремой Паппа-Гульдина, согласно которой объем тела вращения равен произведению площади вращаемой фигуры на длину окружности, описываемой центром масс (центроидом) этой фигуры.

$V = A \cdot 2\pi \cdot \bar{y}$

1. Найдем площадь правильного шестиугольника $A$ со стороной $a=1$ см. Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле:

$A = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

$A = \frac{3\sqrt{3}}{2}(1)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

2. Найдем расстояние от центроида шестиугольника до оси вращения $AB$. У правильного шестиугольника центроид совпадает с его геометрическим центром. Расстояние от центра до любой из сторон равно апофеме $h$.

$\bar{y} = h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

3. Теперь вычислим объем тела вращения:

$V = A \cdot 2\pi \cdot \bar{y} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\pi \cdot \frac{(\sqrt{3})^2}{2} = 3\pi \cdot \frac{3}{2} = \frac{9\pi}{2}$ см$^3$.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{9\pi}{2}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения складывается из площадей поверхностей, образованных вращением сторон $BC, CD, DE, EF$ и $FA$ вокруг оси $AB$. Сторона $AB$ лежит на оси вращения, поэтому ее вращение не создает поверхности.

Для вычисления площадей воспользуемся координатами вершин. Расстояние от вершины до оси вращения (оси $Ox$) является ее $y$-координатой. Радиусы вращения для вершин:

$r_A = r_B = 0$

$r_C = r_F = a \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$r_D = r_E = a \cdot \sin(60^\circ) + a \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Площадь боковой поверхности тела, образованного вращением отрезка (усеченного конуса), вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $R$ и $r$ — радиусы оснований, а $l$ — длина образующей (длина отрезка).

1. Вращение стороны $BC$ ($l=1$). Образуется конус с радиусами $r_B=0$ и $r_C=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$S_{BC} = \pi(r_B + r_C) \cdot l = \pi(0 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}\pi}{2}$ см$^2$.

2. Вращение стороны $CD$ ($l=1$). Образуется усеченный конус с радиусами $r_C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $r_D=\sqrt{3}$.

$S_{CD} = \pi(r_C + r_D) \cdot l = \pi(\frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}) \cdot 1 = \frac{3\sqrt{3}\pi}{2}$ см$^2$.

3. Вращение стороны $DE$ ($l=1$). Образуется цилиндр с радиусом $r = \sqrt{3}$.

$S_{DE} = 2\pi r l = 2\pi \sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3}\pi$ см$^2$.

4. Вращение стороны $EF$ ($l=1$). Из-за симметрии шестиугольника, эта поверхность идентична поверхности от вращения $CD$.

$S_{EF} = S_{CD} = \frac{3\sqrt{3}\pi}{2}$ см$^2$.

5. Вращение стороны $FA$ ($l=1$). Эта поверхность идентична поверхности от вращения $BC$.

$S_{FA} = S_{BC} = \frac{\sqrt{3}\pi}{2}$ см$^2$.

Суммарная площадь поверхности $S$ равна сумме этих площадей:

$S = S_{BC} + S_{CD} + S_{DE} + S_{EF} + S_{FA} = \frac{\sqrt{3}\pi}{2} + \frac{3\sqrt{3}\pi}{2} + 2\sqrt{3}\pi + \frac{3\sqrt{3}\pi}{2} + \frac{\sqrt{3}\pi}{2}$

$S = (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 2 + \frac{3}{2} + \frac{1}{2})\sqrt{3}\pi = (\frac{8}{2} + 2)\sqrt{3}\pi = (4+2)\sqrt{3}\pi = 6\sqrt{3}\pi$ см$^2$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $6\sqrt{3}\pi$ см$^2$.